Chebishev tengsizligi

Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari Ehtimollar nazariyasining limit teoremalari deb nomlanuvchi qator tasdiq va teoremalarni keltiramiz. Ular yetarlicha katta sondagi tajribalarda t.m.lar orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Limit teoremalar shartli ravishda ikki guruhga bo‘linadi. Birinchi guruh teoremalar katta sonlar qonunlari(KSQ) deb nomlanadi. Ular o‘rta qiymatning turg‘unligini ifodalaydi: yetarlicha katta sondagi tajribalarda t.m.larning o‘rta qiymati tasodifiyligini yo‘qotadi. Ikkinchi guruh teoremalar markaziy limit teoremalar(MLT) deb nomlanadi. Yetarlicha katta sondagi tajribalarda t.m.lar yig‘indisining taqsimoti normal taqsimotga intilishi shartini ifodalaydi. KSQ ni keltirishdan avval yordamchi tengliklarni isbotlaymiz.
Chebishev tengsizligi
Teorema(Chebishev). Agar X t.m. DX dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda Vs> 0 uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
DX
p {I X - mx\ >£■}<—. (5.1.1)
&
(5.1.1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. P {|X - a\ >&} ehtimollik X t.m.ning [a-s\a+s] oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda a = MX. U holda
P {|X - a\ >s} = I dF(x) + I dF(x) = J dF(x)
-^ a+s |x-a|>s
J 1- dF(x) < J ^L-OL dF(x)
|x-a| >s |x-a|>s ^S
chunki |x - a| >s integrallash sohasini (x - a)² >s² ko‘rinishda yozish
(x — a)²
mumkin. Bu yerdan ₂— > 1 ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash
s
sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,
1 1 +^OT 1
P {|X - a| >&}< — J (x-a)²dF(x) < — J(x-afdF(x) = — DX . ■
s I V s
|x-a|>s -^
Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
DX
p{|x-MX| 1 —(5.1.2)
s
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy t.m.lar uchun o‘rinli. Xususan, X t.m. binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsin,
P{X = m} = cmp^mq^n-m, m = 0,1,..., n,, q = 1 - p e (0,1) . U holda MX = a = np, DX = npq va (5.1.1) dan

(5.1.3)
P {|m - np| < s} > 1 - ^npq ;
s

n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi p =^M — =^a, dispersiyasi
v ⁿ

'm'

D

v ⁿ у

qp bo‘lgan hodisaning ^ chastotasi uchun,

m — ^- p n

P-
<^s>^{1 -} s (5.1.4)

X t.m.ni [s; +да) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi.
Teorema(Markov). Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi MX chekli bo‘lgan X t.m. uchun Vs> 0 da
P {X >s}< — (5.1.5)
s
tengsizlik o‘rinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
+? +? _x 1 +? MX

■
P{X > s} = J dF(x) < J -dF(x) = - J xdF(x)
^s о ^s
(5.1.5) tengsizlikdan (5.1.1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin. (5.1.5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
P {X 1 - —. (5.1.6)
s

1. 
   -misol. X diskret t.m.ning taqsimot qonuni berilgan:
   

X: 1 2 3 ₍ —

<
Chebishev tengsizligidan foydalanib, P {|X - MX| P_x :0.3 0.2 0.5
ehtimollikni baholaymiz. X t.m.ning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: MX = 1- 0.3+2 • 0.2 + 3- 0.5 = 2.2;
DX = 1² • 0.3 + 2² • 0.2 + 3² • 0.5 - 2.2² = 0.76.

1. 
   76
   

Chebishev tengsizligiga ko‘ra: P {| X - 2.2| < V04} > 1 - ——- = 0.9
Katta sonlar qonuni Chebishev va Bernulli teoremalari
Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Yig‘indidagi har bir t.m.ning tajriba natijasida qanday qiymatni qabul qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta sondagi t.m.lar yig‘indisining taqsimot qonunini hisoblash burmuncha qiyinchilik tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi tasodifiylik xarakterini yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda ko‘p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir. Bu shartlar “Katta sonlar qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi.
S X₁,X₂,...X_n,... t.m.lar o‘zgarmas son A ga ehtimollik bo‘yicha yaqinlashadi deyiladi, agar Ve> 0 uchun
lim P {|X_n - A <^£} = 1
п^да ^v *
munosabat o‘rinli bo‘lsa. Ehtimollik bo‘yicha yaqinlashish X_n — A kabi belgilanadi.
S X₁,X₂,...X_n,... t.m.lar ketma-ketligi mos ravishda MX_l, MX₂,.. .MX_n,... matematik kutilmalarga ega bo‘lib, Vs> 0 son uchun
n — ад da

1 n 1 n
- ZX - - T.MX,
n 1,1 n ,=,

lim P
n——ад

= 1

< s

munosabat bajarilsa, X₁,X₂,...X_n t.m.lar ketma-ketligi katta sonlar qoniniga bo ‘ysunadi deyiladi.
Teorema(Chebishev). Agar bog‘liqsiz X₁,X₂,...X_n,... t.m.lar ketma- ketligi uchun shunday 3C>0 bo‘lib DX, < C,i = 1,2,... tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, u holda Vs> 0 uchun

lim P
n—ад

= 1

(5.2.1)



1 n 1 n
1 ZX - Zmx,
n 1,1 n i ,1

munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Isboti. DX_i < C,i = 1,2,... bo‘lgani uchun

^Л 1 '
-2 ^D n

1 ⁿ
1 Zx
V ⁿ i=1 J

D

n

n

i=1

i 1 ⁿ 1 1
ZX, =—ZDX, =-(DX1 +... + DXn)<(C +... + C)

V ,=1 J

n
¹ XX
v ⁿ i=1 у

D

in in
¹ £x, -¹ ^mx,
n _i=1 n _i=1

C

> 1

>1

P <

(5.2.2)

ns

1 n 1 n
¹ IX -¹ Tmx,
n i,1 n

= 1

< s

Endi n da limitga o‘tsak, ^{lim P}
У1—*-cn

(5.2.3)
Natija. Agar X₁,X₂,...X_n,... bog‘liqsiz va bir xil taqsimlangan t.m.lar va MX_i = a, DX_i = a² bo‘lsa, u holda Vs> 0 uchun quyidagi munosabat o‘rinli

1 ^n - £Xi - a	< s
^ n i=1

lim P


= 1

Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi. U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.

DISPERSION TAHLIL
Dispersion tahlil bir nechta tanlanmalar o’rtacha qiymatini solishtirish masalasini yechishda qo’llaniladi. Agar tekshiruv natijasida ularning matematik kutilishi bir-biridan kam farq qilsa, barcha tanlanmalar birlashtiriladi, tadqiq etilayotgan tizim xossalari haqidagi ma’lumotlar ko’payadi . Ko’p faktorli dispersion tahlil tajribada qatnashayotgan faktorlar guruhidan kuzatilayotgan o’zgaruvchiga va uning natijasiga ta’sir qiladigan ixtiyoriy sondagi faktorlarni baholash imkonini beradi.Dispersion tahlil sonli va sifatli xususiyatga ega bo’lgan faktorlarni baholash imkonini beradi, dispersion tahlil tenglamalarida faktorlar emas balki ularning “samaralari” qatnashadi. Faktorlar sonli xususiyatga ega bo’ganda, ularning kuzatilayotgan o’zgaruvchi bilan o’zaro aloqasi refressiya tenglamasi orqali ifodalanadi. Korrelyatsiya (lot. correlatio — o’zaro munosabat, o’zaro bog’lanish), korrelyatsion bog’liqlik — ikki yoki bir nechta tasodifiy miqdorlarning statistik o’zaro bog’liqligi. 2 тасодифий микдорнинг кушма таксимотини тавсифлаш учун ковариация (ёки корреляцион момент) дан фойланилади.

cov
Tarqalish diagrammasini qurish, ya’ni (xi, yi ) nuqtalarning (x, y) ^faz<=a,jM[i(i^shiiiig^rafik и|(1| ifod^l^h _{M - M M}
Agar rxy Ф 0 bo’lsa, u holda o’zgaruvchilar orasida bog’liqlik mavjud va u rxy qancha katta bo’lsa shuncha kuchli bo’ladi. rxy =1 bo’lganda x va y orasidagi funksional bog’liqlik y = bo + bix ko’rinishida bo’ladi, shu bilan birga rxy = +1 bo’lganda musbat korrelyatsiya, ya’ni bir miqdorning katta qiymatiga boshqa miqdorning katta qiymati mos keladi; rxy = -1 da manfiy korrelyatsiya;
0 < % <1 da chiziqli korrelyatsiya tarqalish ehtimoli bilan, yoki chiziqlimas korrelyatsiya.

Regressiya (лет. regressio — teskari harakat, chekinish),ehtimollar nazariyasi va matematik statistikada biror miqdor o’rtacha qiymatining boshqa bir yoki bir necha miqdorlarga bog’liqligi.

Taqsimotning Integral Funksiyasi. Integral Funksiyaning xossalari
va grafigi

1. 
   O‘lchovli funksiya.
   
2. 
   Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari.
   

Tayanch tushunchalar: O‘lchovli funksiya, tasodifiy miqdor.
1.0‘lchovli funksiya.
ixtiyoriy ehtimollik fazosi bo‘lsin.
1-ta’rif. Tasodifiy miqdor deb, elementar hodisalar fazosi ^ ni
haqiqiy sonlar to‘plami R ga akslantiruvchi $ ⁼ o‘lchovli funksiyaga aytiladi, ya’ni shu funksiya uchun ixtiyoriy В Borel
to‘plamining ~~ ^ * ^ proobrazi ^ ¹⁷-algebraning
elementi bo‘ladi.
5 tasodifiy miqdor ni ^{[ ]}ga o‘lchovli akslantiradi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
Bu yerda В orqali to‘g‘ri chiziqdagi Borel to‘plamlari ^a-algebrasi belgilangan.
Тasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz.

1. 
   O‘yin kubigi bir marta tashlanganda tushadigan ochkolar soni tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu miqdor 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymatlarni qabul qiladi.
   
2. 
   Тajriba tanganing birinchi marta gerb tomoni bilan tushguncha tashlashdan iborat bo‘lsin. Tanganing tashlashlar soni (1, 2,
   

3. 
   ...) barcha natural sonlar to‘plamidan qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdordir.
   

3. 
   Elektron lampaning ishlash vaqti ham tasodifiy miqdordir. Yuqorida keltirilgan misollarda tasodifiy miqdorlar chekli, sanoqli
   

yoki cheksiz qiymatlarni qabul qilish mumkin.
Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlarini chekli yoki sanoqli ketma-ketlik ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorning ta’rifiga ко‘ra, ixtiyoriy В Borel
to‘plami ⁽^^G ® J uchun - = = F
Demak, - tasodifiy miqdor ⁽1 o‘lchovli
fazoda ~ ^e ehtimollikni aniqlaydi va ehtimollik
fazosini hosil qiladi.

1. 
   ta’rif. ) ehtimolliklar *= tasodifiy miqdorning taqsimoti deb ataladi.
   

Agar В to‘plam sifatida ( ^:X^^X1 oraliqni olsak, bu holda biz haqiqiy o‘qda
aniqlangan ^F* ^ ( ⁰⁰ - ^{_ p} ■ = (®)^{< x}) ~ ^p (= ^{< v}) funksiyaga ega bo‘lamiz.

2. 
   ta’rif. ^F^'^X} funksiya^ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
   

Kelgusida, agar tushunmovchiliklar keltirib
chiqarmasa, ni ^Ft,x ■' kabiyozamiz.
Quyida ko‘rish mumkinki, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uning taqsimotini to‘laligicha aniqlaydi va shu sababli taqsimot o‘rniga ko‘p hollarda taqsimot funksiyasi ishlatiladi.
1-misol. - tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos ravishda p va q ehtimolliklar bilan qabul qilsin (p+q= 1),
ya’ni P ^{= p}{^ ^{= l}) va ^{q = P[}-- ^{= 01}. Bu holda uning taqsimot funksiyasi

1.