Buxoro oziq-ovqat va yengil sanoat texnologiyasi instituti

Normal chiziqli tenglamalar sistemasining koeffitsientlarini hisoblash. 
Xo`jal
iklar 
1 ga mi-
neral 
o`g’itlar 
(shartli 
birliklarda)
, s/ga, x 
Paxta 
hosil-
dorligi, 
s/ga, y 
x
2
 
y
2
 
y∙x 

,
,
у
х
х


1 2 7 0 6
3 6 4 7
 
43
,
4



›
›
›
hosila 
ishorasi 
у
у
у



2 8 8
,
hosila 
ishoras
i 
2
)
ˆ
(
x
y
 
A 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
1 - 
2 - 
3 - 
4 - 
5 - 
6 - 
7 - 
3 
3 
4 
4 
5 
6 
6 
25 
20 
28 
30 
31 
35 
33 
9 
9 
16 
16 
25 
36 
36 
625 
400 
784 
900 
961 
1225 
1089 
75 
60 
112 
120 
155 
210 
198 
23,65 
23,65 
27,29 
27,29 
30,94 
34,59 
34,59 
- 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
+ 
+ 
+ 
+ 
559,32 
559,32 
744,44 
744,44 
957,28 
1196,4 
1196,4 
Jami 

x=31 

y=202 

x
2
=
147 

y
2
=5
984 

xy= 
930 
202 
 
 
 
 
Bu  ma`lumotlarni  (10.1)  formulaga  qo`yib,  normal  chiziqli  tenglamalar 
tizimini ushbu ko`rinishda yozishimiz mumkin. 
7
3 1
2 0 2
3 1
1 4 7
9 3 0
0
1
0
1
а
а
а
а




 
bundan (10.2) binoan 
706
,
12
68
864
)
31
(
147
7
31
930
147
202
2
0








a
; 
(10.3) ga binoan esa 
647
,
3
68
248
)
31
(
147
7
31
202
7
930
2
1








a
. 
SHunday  qilib  korrelyatsion  bog’lanish  regressiyasining  to`g’ri  chiziqli 
tenglamasi quyidagicha: 
x
y
x
647
,
3
706
,
12
ˆ


 
Demak,  g’o`zaga  berilgan  har  bir  tsentner  o`g’it  hosildorlikni  o`rtacha 
3,65 s/ga oshiradi. O`g’it berilmagan maydondan 12,7 s/ga hosil olinishi nazariy 
jihatdan  kutiladi.  Bu  tenglamaga  x  ning  har  bir  qiymatini  qo`yib,  mineral 
o`g’itgagina  bog’liq  bo`lgan  hosildorlikning  nazariy  darajalarini  aniqlash 
mumkin. (10.2-jadval, 6-ustunga qarang) 
Paxta  hosildorligining  haqiqiy  va  ushbu  nazariy  darajalari  orasidagi 
farqlar  boshqa  noma`lum  omillar  ta`siri  ostida  yuzaga  chiqqan.  Regressiya 

---

 
81 
tenglamasining  a
0
  hadi  ozod  had  deb  ataladi  va  u  musbat  yoki  manfiy 
qiymatlarga ega bo`lishi mumkin. 
Bog’lanish  zichligini  baholashda  haqiqatga  qo`pol  yaqinlashish  sifatida 
nemis  psixiatri  G.T.Fexner  taklif  qilgan  me`yordan  foydalanish  mumkin.  Bu 
ko`rsatkich bir xil ishorali juft tafovutlar soni bilan har xil ishorali juft tafovutlar 
soni orasidagi ayirmani bu sonlarning yig’indisiga nisbati bilan aniqlanadi: 




B
+
A
B
-
A
=
 
Fexner
K
  
 
 
(9.4) 
Bu  erda 

A-  bir  xil  ishoraga  ega  bo`lgan 
x
x
y
y


  в а   
  ayirmalarini 
umumiy soni; 

B - har xil ishorali 
x
x
y
y


  в а   
 ayirmalarini umumiy soni. 
10.2-jadval  7  va  8-ustunlarida 
x
x
y
y


  в а   
  ayirmalarining  ishoralari 
ko`rsatilgan.  Bir-biriga  mos  juft  ishoralar  soni 

A=6,  mos  bo`lmagan  juft 
ishoralar soni 

B=1. 
71
,
0
7
5
1
6
1
6
B
+
А
B
-
А
=
 









Fexner
K
 
Ammo Fexner koeffitsienti belgilarning o`rtachadan tafovutlarini hisobga 
olmaydi,  vaholanki  ular  turlicha  miqdoriy  ifodaga  ega  bo`ladi.  To`g’ri  chiziqli 
bog’lanishning zichlik darajasi korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi: 




r
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
n
x y
x y
n
x y
x
y
n
x
x
n
y
y
x y
x
y
x
y


























(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
) )(
(
)
2
2
2
2
2
2
 
 
 
 
 (9.5) 
Korrelyatsiya  koeffitsienti  -1  bilan  +1  orasida  yotadi.  Musbat  ishora 
to`g’ri bog’lanish, manfiy ishorada esa teskari bog’lanish ustida so`z boradi. 
9.2-jadval ma`lumotlariga binoan: 
 
913
.
0
)
31
31
147
7
)(
202
202
5984
7
(
31
202
930
7











xy
r
 
Korrelyatsiya  va  regressiya  koeffitsientlari  orasida  quyidagicha  o`zaro 
bog’lanish mavjud: 
x
y
y
x
xy
r
a
a
r






1
1
    
yoki
   
   
 
 
(9.6) 
Ozod had esa 
x
y
r
x
y
x
a
y
a






1
1
0
ˆ
 
Korrelyatsiya  koeffitsientining  kvadrati  determinatsiya  koeffitsienti  deb 
ataladi  va  u  natijaviy  belgi  umumiy  o`zgaruvchanligining  qaysi  qismi 
o`rganilayotgan omil x hissasiga to`g’ri kelishini ko`rsatadi. 
 

---

 
82 
9.4. Ranglar korrelyatsiya koeffitsienti 
Juft  bog’lanish  zichligini  baholash  me`yori  sifatida  ingliz  psixiatri 
CH.Spirmen tomonidan taklif etilgan ranglar korrelyatsiya koeffitsientidan ham 
foydalanish  mumkin.  Ranglar  -  bu  saflangan  qatorda  to`plam  birliklari  uchun 
berilgan  tartib  raqamlari.  Agar  X  va  Y  belgilar  uchun  ranglarni
i
x
P
, 
i
y
P
orqali 
belgilasak, ularning korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi ko`rinishga ega: 
r
P
x
P
y
P
x
i
P x
P
y
i
P
i
n
P
x
i
P x
i
n
P
y
i
P
i
n
у
у











(
) (
)
(
)
(
)
1
2
1
2
1
   
(9.7) 
Bu erda 
P x
P у
 в а  
   -  1 ...n
 natural sonlar qatorining o`rtacha ranglari. 
Ma`lumki,  natural  sonlar  qatorining  o`rtachasi  (n+2)/2  ga  teng,  ularning 
o`rtachadan 
tafovutlari 
kvadratlarining 
yig’indisi, 
ya`ni 
(
)
(
)
P
x
i
P
n
n
P
P
n
n
x
y
у
i








2
3
2
3
1 2
1 2
  в а   
.  Demak,  (10.8)  formula  maxraji  
(n
3
-n):12 ifodaga teng. 
Ranglar  orasidagi  farqlarni 
d
P
P
i
x
y
i
i


  desak,  u  holda  ularning 
kvadratlari yig’indisi: 






n
i
i
i
d
n
n
d
1
2
3
2
2
12
 
Bu  ifoda  ranglar  korrelyatsiya  koeffitsientining  suratidir.  Topilgan 
ifodalarni (10.8) ga qo`yib, quyidagi formulaga ega bo`lamiz: 
r
n
n
d
n
n
d
n
n
P P
i
i
n
i
i
n
x
y











(
)
3
2
1
3
2
1
3
1 2
2
2
1
6
 
 
 
(9.8) 
Bu erda 
i
i
У
X
i
P
Р
d


 n - qator ranglar soni. 
Bu ifoda Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsienti deb ataladi. 
Bu  ko`rsatkichni  afzallik  jihati  shundan  iboratki,  son  bilan  ifodalab 
bo`lmaydigan belgilar uchun ham saflangan qatorlar tuzish mumkin. 
Endi 9-jadval ma`lumotlari asosida saflangan qatorlar tuzib, 1 ga g’o`zaga 
berilgan  mineral  o`g’it  bilan  paxta  hosildorligi  orasidagi  bog’lanish  zichligini 
Spirmen ranglar korrelyatsiya koeffitsienti orqali baholaylik. 
9-jadval 
Mineral o`g’it sarfi va hosildorlik ranglari orasidagi bog’lanishni aniqlash 
Xo`jaliklar 
1 ga mineral 
o`g’itlar sarfi 
uchun ranglar P
xi
 
Hosildorlik 
ranglari P
yi
 
D=P
xi
-P
yi
 
d
2
 
1 
1 
2 
-1 
1 
2 
2 
1 
+1 
1 
3 
3 
3 
0 
0 

---

 
83 
4 
4 
4 
0 
0 
5 
5 
5 
0 
0 
6 
6 
7 
-1 
1 
7 
7 
6 
+1 
1 
jami 
28 
28 
0 
4 
 
993
.
0
336
24
1
7
7
4
6
1
3







y
x
P
P
r
 
Agarda  belgilarning  ayrim  qiymatlari  bir  xil  son  bilan  ifodalangan  bo`lsa, 
ularning  ranglarini  turli  ketma-ket  keluvchi  tartib  sonlar  bilan  emas,  balki 
ulardan olingan o`rtacha miqdorlar bilan ifodalash kerak. 
 
9.5. Guruhlangan ma`lumotlar asosida to`g’ri chiziqli regressiya tenglamasini 
aniqlash. Korrelyatsiya jadvali. 
Hisoblash  ishlarining  hajmini  kamaytirish  maqsadida  to`plam  birliklari 
omil (x) va natijaviy (y) belgilar bo`yicha kombinatsion shaklda guruhlanadi va 
natijada  korrelyatsion  jadval  hosil  bo`ladi.  So`ngra  uning  ma`lumotlari  asosida 
regressiya tenglamasining parametrlari aniqlanadi.  
 
10-korrelyatsion  jadvalda  oraliqlar  o`rtachalarini  belgi  variantalari  deb 
qabul qilib, jadvalning har bir katagida 3 ta ma`lumot yozamiz. 
Chunonchi,  katakning  o`rtasida  guruh  takrorlanish  (xo`jaliklar)  soni  n
xy
, 
yuqori chap burchagida xy ko`paytma, pastki o`ng burchakida esa ularning n
xy
ga 
ko`paytmasi  xyn
xy
  ko`rsatiladi  (xususan  1-qator  va  1-ustunga  mos  kelgan 
katakda  n
xy
=10,  xy

3

23

69,  xyn
xy

69

10

690).  Bulardan  tashqari,  jadvalda 
yig’indi va ko`paytma ko`rinishida umumiy ifodalar berilgan. Masalan, 












12
0
2
10
15
0
5
10
1
1
yx
xy
n
ny
n
nx
 
 
 
10-jadval 
Regressiya tenglamasini parametrlarini aniqlash uchun kerakli jamlama 
axborotlarni tayyorlash 
Paxta hosildorligi 
bo`yicha 
guruhlar,ts/ga 
20-26 
26-32 
32-38 
jami 
nx 
х n
x

 
х n
x
2

 
Ham-
ma 
1 ga 
mineral 
o`g’it 
sarfi 
bo`yicha 
guruhlar 
Oraliq 
o`rtacha 
qiymati 
y
 
x
 
23 
29 
35 
Si 
х у n
у x

 
 
x y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-4 
3 
69 
 
 
87 
 
 
105   
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
5 
 
 
0 
 
15 
45 
135 
 
 
 
 
690 
 
 
435 
 
 
0 
 
 
 
1125 
 
5 
115 
 
 
145 
 
 
175   
 
 
 
 
 

---

 
84 
4-6 
 
 
2 
 
 
20 
 
 
8 
 
30 
150 
750 
 
 
 
 
230 
 
 
2900 
 
  140
0 
 
 
 
4530 
 
6-8 
7 
161 
 
 
203 
 
 
245   
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 
15 
 
 
1
0 
 
25 
175  1225 
 
 
 
 
0 
 
 
3045 
 
  245
0 
 
 
 
5495 
 
 
 
 
Jami 
n
y
 
12 
 
40 
18 
70 
370  2110  1115
0 
y n
y

 
276 
 
1160 
630 
2066 
- 
- 
- 
y n
y
2

 
6348 
 
33640 
22050 
62038 
- 
- 
- 
x
yˆ
 
26.11 
29,09 
32,07 
29,4 
- 
- 
- 

y
x
n
yˆ
 
313.32 
1163,60 
577,26 
2054,18 
- 
- 
- 

x
x
n
y
2
ˆ
 
8180.79 
33849,12 
18512,73 
60542,6
4 
- 
- 
- 
 
9.4-jadval 
ma`lumotlariga 
asoslanib 
regressiya 
tenglamasining 
parametrlari bunday aniqlanadi: 
;
644
,
21
370
370
2110
70
370
11150
2110
2066
)
(
2
2
2
0
















 


x
x
x
xy
x
xy
xn
n
x
N
xn
xyn
n
x
yn
a
 (9.9) 
48
.
1
370
370
2110
70
370
2066
11150
70
)
(
*
2
2
1













 


x
x
x
y
xy
xn
n
x
N
xn
yn
xyn
N
a
   
(9.10) 
Demak,
x
y
x
489
,
1
644
,
21



 
Gruppalangan  ma`lumotlar  bo`yicha regressiya  tenglamasi  parametrlarini 
hisoblash ularning aniqlik darajasini pasaytiradi, chunki bunda belgi qiymatlari 
uchun  taqriban  oraliqlar  o`rtachasi  olinadi.  G’o`za  mineral  o`g’itlar  bilan 
oziqlantirilmaganda  xo`jaliklarda  o`rtacha  hosildorlik  21,64  s/ga  bo`lishi 
mumkin  edi.  Har  gektar  g’o`zaga  berilgan  qo`shimcha  o`g’it  hosildorlikni 
o`rtacha 1.5 s

ga oshiradi.