Buxoro davlat universiteti fizika matematika fakulteti

2.2.2-teorema.Regulyar F₁ ,F₂ sirtlar uchun f:F₁ F₂ izometrik akslantirish

19

bo’lsa, dF tenglik o’rinlidir, ya’ni kovariant differensial izometrik akslantirishlarga nisbatan invariantdir.

Isbot.Ixtiyoriy t₀ uchun d

tenglikni isbotlash yetarlidir. Faraz qilaylik, nuqta atrofida F₁ sirt = (u, v) tenglama yordamida aniqlangan va chiziq u=u₁(t), v=u₂(t) tenglamalar bilan berilgan bo’lsin. Endi F₂ sirtni F( nuqta atrofida tenglama yordamida parametrlaymiz. Bu yerda vector F₂ sirtning F ( nuqtasi radius vektoridir. Akslantirish F differensiallanuvchi bo’lganligi uchun differensiallanuvchi vektor funksiyadir. Bu parametrlashda F( ) chiziqni tenglama bilan parametrlasak, F( ) chiziqning F₂ sirt ichki koordinatalaridagi tenglamalari u=u₁(t), v=u₂(t) ko’rinishda bo’ladi. Bizga ma’lumki, d F( (t))( tenglik o’rinli bo’ladi. Undan tashqari biz bilamizki, F izometrik akslantirish bo’lganlanligi uchun F₁ va F₂ sirtlarning yuqoridagi parametrlash usullari bilan aniqlangan birinchi kvadratik formalarining koeffitsiyentlari mos ravishda teng bo’ladi, shuning uchun Kristofel simvollari ham o’zaro teng bo’ladi. Endi

= formuladan

tenglikni hosil qilamiz.

Chunki X(t) urinma vektor uchun X(t)= tenglikdan

Y(t)= tenglik kelib chiqadi.