Boshqarilgan harakatlarni barqararish muammolari

IV teorema. Agar (109.1) bezovtalanuvchi harakatning differensial tenglamalari uchun cheksiz kichik yuqori chegarani qabul qiluvchi aniq musbat funktsiyani va ( t ; …, ) dan funksiyalarni topish mumkin ( t ; …, ) soha (109.2) shartlarida qanoatlantiruvchi:

1)funksiya

aniq ijobiy;

2) tenglik to'g'ri

B[ ; t ; …, : ,…

]=0 (109,6)

3) qanday raqamlar va tenglik

B[ ; t ; …, : … , ]>=0 (109,7)

IV-ilova,

keyin funktsiyalari stabilizatsiya. Bu holda, tenglik bajariladi optimallashtirish haqidagi II masalani hal qiladi.

Lyapunovning asimptotik barqarorlik haqidagi teoremalarining shartlarini qondirib, nafaqat juda o'rnatishni o'rnating. barqarorlik fakti, balki tengsizliklar

va lim x, (t) uchun tengsizliklar bo'lgan boshlang'ich buzilishlarning (s - 1, ..., n)) domenini baholashga imkon beradi

uchun (109.1) tenglamalarda funksiya teoremaning barqarorlik shartlarini qanoatlantiradi. 10& da koʻrsatilganiga muvofiq mintaqani (109.9) belgilaydigan

bu yerda h - dan kichik musbat son H(t>= >= 0) Sonni qat’iy belgilangan deb faraz qilamiz (109.8) tengsizlik bilan ifodalangan IV teoremaning tasdiqini quyidagi ma’noda tushunish kerak: uchun (107.1) integrali (109.9) domenidan barcha dastlabki ( ) ( >= 0) shartlari uchun eng kichik qiymatiga etadi, bunda n soni mos ravishda tanlanadi. (109.12) tengsizlik bilan.

Teoremaning isboti. funksiyasi II teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Uni hosil qilish, (109.1) tenglamalar yordamida ( uchun), tenglik bilan aniqlanadi

BOSHQARILGAN HARAKATLARNI BARQARARISH MUAMMOLARI

va demak, harakatlar buzilmagan harakatning = 0 asimptotik barqarorligini va barcha dastlabki shartlar uchun cheklovchi munosabatning (109.11) bajarilishini ta’minlaydi. x ( ) mintaqadan (109,9 ), (109,12).

Endi teoremani isbotlash uchun (109.8) munosabatning haqiqiyligini tekshirish kifoya. Qani buni bajaraylik ]. (109.9), (109.12) shartdagi harakatlari tengsizlikni qanoatlantiradi | [t] h to uchun tenglik (109.6) yoki boshqacha aytganda (109.13) tenglik amal qiladi. Bundan tashqari, asimptotik barqarorlik tufayli chegara bajariladi, bu aniq salbiy funktsiyadir. Munosabat

harakati bo'yicha tenglikni (109.13) integrallash? [t] dan t= gacha t= va (109.14) hisobga olingan holda. olamiz:

Boshqa tomondan, ,…, - harakatni barqarorlashtirish masalasini ham hal qiladigan ba'zi funksiyalar bo'lsin = 0 domenidan (109.9) dastlabki tebranishlar uchun). [t] harakatlari t≥ hududini tark etmaydi| h.U holda x xarakat jarayonida , (109.7) har doim bajariladi. Yoki boshqacha aytganda

tengsizlik. ) dt Bu yerda funksiyaning bo‘ylab hosilasi [t]. (109.16) —dan gacha t= gacha t= bo‘lgan tengsizlikni va yana chegaralovchi munosabatni

hisobga olgan holda integrallashda:

IV-ilova

Xuddi shunday tengsizlik [t] harakat mintaqani bir muddat tark etganda olinadi.

Darhaqiqat, oxirgi holatda quyidagi holat yuz beradi. τ> - harakati oxirgi marta [t] mintaqaga (109.19) kirgan va allaqachon t τ bu hududni tark etmagan vaqt momenti bo'lsin. Shu paytdan boshlab [t] (109.16) shart har doim bajariladi. Bu tengsizlikni tm dan t=τ ga integrallab, chegara munosabatini (109.17) yana hisobga olib, quyidagini olamiz:

Lekin tanlash (t) yo'li bilan. ning dan (109.9), (109.12) sohasi boʻyicha

tengsizlik oʻrinli boʻladi va funksiyaning manfiy emasligi tufayli bizda:

(109.20) - (109.22) dan (109.18) tengsizlik yana keladi. (109.15) va (109.18) munosabatlar (109.8) isbotlaydi.Shunday qilib, IV teorema

IV teorema shartlarida (109.1) tenglamalardagi u kattaliklar t va (t) ning funksiyalari deb faraz qilinadi. Biroq, bu teorema isbotini tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, agar (109.8) = [t] da = [t] vaqtning har qanday funksiyalari bo'lsa, (109.8) munosabatlar ham o'rinli bo'ladi. chegaralovchi munosabat

lim [t]-=0 sifatida t→ Darhaqiqat, bu isbotda mohiyatan hech bir joyda

funksiyasi [t]= (t, [t], . . . ., [t]) ko‘rinishga ega t degan taxmin yo‘q edi. = (t, , . . . ., ) va faqat r vaqtining aniq funksiyasi emas.Shuning uchun |V teorema boshqaruv harakatining = (t, , . . . ., ) shaklidagi boshqaruv elementlariga nisbatan x,) boshqaruvning optimalligini belgilaydi. va ta'sir etuvchi ta'sirlar uchun = (t) mintaqadan barcha dastlabki buzilishlar uchun (109,9). (109.12).

BOSHQARILGAN HARAKATLARNI BARQARARISH MUAMMOLARI

& 110. Stabilizatsiya nazariyasida ikkinchi Lyapunov usuliga oid mulohazalar.

Shunday qilib, optimal barqarorlashtirish bo'yicha II masalani hal qilish uchun va funktsiyalarini topishga harakat qilish kerak. IV teorema shartlarini qondirish. Bunday holda, tenglikning bajarilishini ta'minlash kerak (109.6). qidirilayotgan funksiyaga nisbatan qisman differensial tenglama bo'lgan (109.6) tenglama qo'shimcha (109.7) shartni hisobga olgan holda yechilishi kerak. Natija ancha qiyin vazifadir. Biroq, harakat barqarorligining umumiy muammosi misolida bo'lgani kabi, Lyapunov funktsiyalarini samarali qurish muammosi ham juda qiyin, biz tenglamalarning ayrim turlarini ko'rsatishimiz mumkin (109.1). buning uchun funksiyasi yopiq shaklda qurilgan. Ushbu turdagi tenglamalarni izlash va mos keladigan funksiyalarni qurishga harakatning barqarorligi nazariyasining taniqli natijalari yordam beradi. Xususan, chiziqli tizimlar uchun oddiy barqarorlik masalalarida bo'lgani kabi, kvadrat shakllar ko'rinishidagi funktsiyalari foydali tadqiqot vositasidir.

IV teorema shartlarini qanoatlantiruvchi (t, , . . . ., ) funksiyalar. mos keladigan optimal barqarorlashtirish masalasi II ga mos keladiganlar deyiladi. IV teorema turli yo'nalishlarda umumlashtirilishi mumkin. Agar biz umuman optimal barqarorlashtirish muammosi haqida gapiradigan bo'lsak (480-betga qarang), u holda IV teoremani shakllantirishda barcha (- < <+ , s=1, . . . . , n ) uchun (109.6), (109.7) munosabatlarning bajarilishini talab qilish kifoya. =0 38-betga harakat barqarorligini ta'minlovchi shartlarni qo'shing. Shuning uchun biz bu erda IV teoremaning tegishli to'liq formulasini keltirmaymiz. hol. IV teorema nazorat harakatlari qo'shimcha tengsizliklar bilan chegaralangan hollarda ham o'z kuchini saqlab qoladi (masalan, | | 1). Bunday hollarda, faqat funksiyasi ning barcha qiymatlari uchun tengsizlikni (109.7) qondirishini talab qilish kerak. berilgan cheklovlar bilan cheklanadi. Nihoyat, mumkin.

ꙍ( t ; …, : … , ) funksiyaning aniq musbatligi shartlarini zaiflashtiring. optimal Lyapunov funktsiyalari. butun. Bu shartlar III-ilovada keltirilgan asimptotik barqarorlik mezoni ruhida qo'shimcha cheklovlar ostida ijobiy belgi sharti bilan almashtirilgan izohda ko'rsatilgan. Teo IV matnida kiritilishi kerak bo'lgan o'zgarishlar aniq va biz bu erda ular haqida to'xtalmaymiz. (t, , . . . ., ) funksiyasi (109.2) sohada uzluksiz bo'laklarga ega.IV teorema tabiiy ravishda suvli , ( s=1, . . . . , n ) deb qabul qilinadi. Optimal nazorat vazifalari uchun

Biroq, bu taxmin t va ning alohida qiymatlari, to'ldirish, ehtimol, ba'zi sirtlar uchun bajarilmagan qiziqarli holatlar mavjud.

IV teoremaga o'xshash optimallik mezoni, lekin bunday silliq bo'lmagan funktsiyalardan foydalanish bilan ishlaydigan (t, , . . . ., ) . V.G. Boltyanskiy tomonidan ishlab chiqilgan).

Ushbu bo'limni yakunlash uchun keling, IV teoremani umumiy variatsion usullar bilan, xususan, hisoblash bo'yicha matematik izohlarning mashhur usullari va optimal jarayonlar nazariyasi bilan yana bir necha qisqacha bog'lashni keltiramiz.

Ta'sirlarning optimalligi mezoni , Bu tenglik (109,6) va tengsizlik (109,7) bilan ifodalanadi. qo'zg'alishlarning tarqalish nazariyasiga asoslangan o'zgarishlarni hisoblashda taniqli usulga mos keladi). Biroq, bu erda ekstremallik uchun zarur shartlarning eng keng tarqalgan shaklidan farqli o'laroq, mezon integralning minimumi uchun etarli shartlar shaklida taqdim etiladi (107.1). Bundan tashqari, IV teorema shartlari bir vaqtning o'zida lim , (t) = 0 kabi

t → chegaraviy munosabatning bajarilishini ta'minlaydi.Bu formula Lyapunovning harakat barqarorligini o'rganishning ikkinchi usulining asosiy teoremalarining xarakteriga mos keladi. Shuning uchun biz bu yerda uni tanladik.Klassik variatsiyalarni hisoblash usullari - (109.6) munosabatning taniqli Gamilton-Yakobi tenglamasi ko'rinishidagi qisman differensial tenglama ko'rinishiga ega bo'lishi.L.S.Pontryagina fundamental metoddir. optimal nazorat muammolarini o'rganish uchun 8). L.S.Pontryagin va uning hamkorlari tomonidan ishlab chiqilgan optimal jarayonlar nazariyasida V.G.Boltyanskiy, R.V. Gamkrelidze va EF Mishchenko, optimal nazorat va, faqat vaqt funksiyasi shaklida izlanadi = (t) har bir belgilangan dastlabki shartlar uchun alohida ( )).

11. 
    masalaga oʻxshash, lekin boshqaruvni aniqlashdan va boshqaruv tomonidan hosil qilingan (109.1) tizimning optimal harakati [t] dan iborat boʻlgan masala uchun. = (t) ko’rinishdagi maksimal prinsipga asoslangan usulning sharti Maksimal prinsip, (t) ko’rsatadi.
    

BOSHQARILGAN HARAKATLARNI BARQAROR QILISH MUAMMOLARI

qanday raqamlar … , Bu yerda H ning qiymati

qiymatining ψ (t) tengligi bilan aniqlanadi tizimning ba'zi bir maxsus yechimi

bunda =ꙍ va =1. Bundan tashqari, optimal [t] harakatida H qiymati doimiy bo'lib qoladi, ya'ni

maksimal printsipi va IV teorema quyidagi holat bilan aniqlanadi: IV teoremaning [t] harakati bo'yicha optimal boshqaruv - [t]= (t, [t], . . . ., [t]), orqali hosil qilingan harakatda tengliklarning to'g'ri ekanligini tekshirish mumkin.

Lekin bunda holatda (110.1) mos ravishda tenglik (109.6) va tengsizlik (109.7) bilan bir xil ma'noga ega ekanligi aniq. Biz ta'kidlaymiz, ammo maksimal printsip nazoratning optimalligi uchun zarur shartlarni ko'rsatadi = (t) , Teorema IV optimal boshqarish uchun yetarli shart-sharoit beradi , shaklida = (t, , . . . ., )- bu tenglik (110.4) va shart yana bir bor E'tibor bering, nihoyat, barqaror harakatlar holatida va ꙍ funktsiyalari aniq vaqtga bog'liq bo'lmagan holatlar, optimal Lyapunov funktsiyasi va optimal boshqarish va aniq vaqtga bog'liq bo'lmagan funktsiyalar shaklida ham izlash kerak, ya'ni.

IV qo‘shimcha