Boshlang’ich funksiyalar

Ba’zi irratsional va trigonometrik

funksiyalarni integrallash
Biz har qanday ratsional funksiyalardan olingan integrallarni elementar funksiyalar orqali ifodalashni ko‘rdik.

Lekin har qanday irratsional funksiyalardan olingan integrallarni elementar funksiyalar orqali ifodalash mumkin bo‘lavermaydi. Shuning uchun bunday hollarda irratsional funksiyalardan olingan integralni o‘zgaruvchilarni almashtirish yordamida ratsional funksiyalardan olingan integrallarga keltiriladi.

1. ko‘rinishdagi integralni ko‘raylik.m,n,...,r,s lar natural sonlar bo‘lib, R esa o‘z argumentlarining ratsional funksiyasi.

Agar kasrlarning umumiy mahrajini k deb ,x=t^k,dx=kt^k-1 almashtirish bajarsak har bir kasr darajali x,butun darajali t bilan ifodalanadi. Demak integral ostidagi funksiya t ning ratsional funksiyasi bo‘ladi. Uni esa biz integrallashni bilamiz.

Misol. va larning umumiy mahraji 6 bo‘ladi. Shuning uchun

x=t⁶,dx=6t⁵dt

2. ko‘rinishdagi integralda ham kasrlarning umumiy mahrajini k deb belgilasak



almashtirish bilan ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi.
Misol.

3. 
   ko‘rinishidagi integral quyidagi ikki holda osongina integrallanadi.
   

a) suratidagi Ax+B mahrajidagi ax²+bx+c kvadrat uchhadning hosilasi bo‘lsa, ax²+bx+c=z desak



Masalan

b) Agar surati x ga bosliq bo‘lmasa ya’ni A=0 bo‘lib, bo‘lsa, bu holda mahrajdagi kvadrat uchhadni kvadratlar yitsindisi yoki ayirmasi ko‘rinishga keltiriladi.

bo‘lib, berilgan integral a>0 bo‘lsa yoki a<0 bo‘lsa ko‘rinishdagi jadvaldagi formulalarga keladi.

Misol.



4. a) ko‘rinishdagi integralni hisoblaganda

x=Rsint, dx=Rcost dt, almashtirishlardan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘ladi.

b) ko‘rinishdagi integralda esa

almashtirishlarni bajarish kerak.

v) integralda esa

almashtirishlar qulay bo‘ladi.
Misol.