Bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema. Markaziy limit teorema

Bog‘liq bo‘lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema.
Markaziy limit teorema
Juda ko`p hollarda tasodifiy miqdorlar yig`indisining taqsimot qonunini bilish zarur bo`ladi. - o`zaro bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlarning yig`indisi ni qaraymiz va har bir tasodifiy miqdor yoki qiymatni mos ravishda va ehtimolliklar bilan qabul qilsin. U holda tasodifiy miqdor binominal qonun bo`yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo`lib, uning matematik kutilishi dispersiyasi esa ga teng bo`lib, u qiymatlarni qabul qilishi mumkin va n ortishi bilan tasodifiy miqdorning qabul qiladigan qiymatlari istalgancha katta son bo`lishi mumkin.

Ta`rif. … tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi berilgan bo`lsin. Agar shunday sonlar ketma - ketligi mavjud bo`lib, da munosabat barcha haqiqiy lar uchun bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli deyiladi.
Bu holda tasodifiy miqdor da asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Yuqoridagi ta`rifdan ko`rinadiki Laplasning integral teoremasi
tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun markaziy limit teorema ekan.
Faraz qilaylik tasodifiy miqdorlar ketma-ketlig bog`lanmagan va bir hil taqsimlangan va ularning matematik kutilma va dispyersiya ga teng bo`lsin.
deb olamiz va quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

1- teorema: Yuqorida keltirilgan shartlarni qanoatlantiruvchi tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi uchun da munosabat barcha lar uchun bajariladi.

Isboti: Uzluksiz moslik haqidagi teoremalarga asosan, teoremani isbotlash uchun da tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi ning ga intilishini ko`rsatish yetarli.

tasodifiy miqdorlar o`zaro bog`liq bo`lmaganligi va bir xil taqsimlangani uchun, xarakteristik funksiyaning 2,3–hossalariga asosan bo`lgani uchun

(1)

tasodifiy miqdorlar chekli dispyersiyaga ega bo`lganligi uchun

bu yerda da
bunga asosan, (2)
(1) ning o`ng tomoni
ko`rinishini oladi.
Ixtiyoriy da da limitga o`tib ga ega bo`lamiz. Teorema isbotlandi.
Bog`liq bo`lmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun bo`lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz.


2 – teorema: Ixtiyoriy uchun da (3) bo`lsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema urinli bo`ladi.
(3) shartga Lindeberg sharti deyiladi. Bu shartning bajarilishi ixtiyoriy uchun qo`shiluvchilarning tekis kichikligini ta`minlaydi.
Haqiqatan ham,
bo`lgani uchun
Agar (3) bajarilsa, da oxirgi tengsizlikning o`ng tomoni nolga intiladi.
Endi teoremani isbotlaymiz..

, va
bo`lsin.

tasodifiy miqdorlar ketma- ketligi o`zaro bog`liq bo`lmaganligi uchun

(4)
bo`ladi va teoremani isbotlash uchun (3) sharti bajarilganda bo`lishligini ko`rsatish yetarli.

Bizga ma`lumki uchun (5) va ixtiyoriy uchun (6) tengsizligi o`rinli.
Ixtiyoriy va da (3) shartga asosan da(7) (5) va (7) ga asosan barcha va yetarlicha katta lar uchun shartni qanoatlantiruvchi larda shuning uchun (6) dan (8)kelib chiqadi.
(6) ni e`tiborga olsak, (7), (8) ga asosan, da

(8) dagi yig`indini quyidagi tasvirlaymiz:

bu yerda

da ni ko`rsatamiz.

(5) dan

ni tanlash va (3) shartga asosan, da .

Demak, da ya`ni
Teorema isbot bo`ladi.

uchun mavjud bo`lsin va deb olamiz.

3 – teorema (Lyapunov teoremasi). Agar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bo`lib, da(9)
sharti bajarilsa, tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi uchun markaziy limit teorema o`rinli bo`ladi.
(9) shartga Lyapunov sharti deyiladi.

Isboti: Teoremani isbotlash uchun Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o`rinli bo`lishligini ko`rsatamiz.

bo`lganda tengsizligi bajariladi.

Bundan va (9) shartdan.

Demak, 3- teoremaning isboti 2- teoremadan kelib chiqadi.