Bob. Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari

2-bosqichda a₁,p₁ noma'lum koeffisientlarning barcha qiymat-lari
topilgach (6.22) rekkurent formula yordamida qidirilayotgan yechim y_t larni topish mumkin, bu yerda ham rekkurent formulaning ishlashi
uchun dastlabki qiymat sifatida y_n ni aniqlash lozim. Bu ishni bajarish uchun x = b nuqtadagi chegaraviy shartdan hosil qilingan (6.21) sistemaning uchinchi tenglamasi
^АпУп + ^ВпУп-1 = ^Dn
va (6.22) formulaning i = n -1 nuqtadagi ko‘rinishi у_п__г =a_ny_n + p_n dan foydalanamiz, ya'ni ularni sistema deb qarab, bu sistemadan y_n ni
• , • _y Cnbn - Dn
aniqlaymiz. Уп = ——-—
В - C a
Qidirilayotgan y_n hisoblangach, y_i = a+ ■ y₁₊₁ + p_i+1 rekkurent
formulasi yordamida (i = n -1,0) barcha qolgan yechimlar topiladi.
Bu jarayon i ga nisbatan teskari tartibda bo‘lgani uchun, uni haydashning teskari bosqichi deb ataymiz.
(6.21) sistemaga xaydash usulini qo‘llash uchun quyidagi turg’unlik shartlari bajarilishi kerak:

		C		C
В i	>\A\ + \Ct\, i = 1,n-1,	^0	< 1,	n
		^B0		^Bn

< 1
^Ai ^ ⁰, ^Ci ^ ⁰,
Shunday qilib, oldimizga qo‘yilgan masalani, ya'ni o‘zgaruvchan koeffisientli, ikkinchi tartibli, oddiy differensial tenglamani chekli ayirmali formulalar yordamida sonli-taqribiy usulda yechish uchun ishchi algoritm hosil qildik.
Usulga mos algoritm blok-sxemasi quyidagicha ko‘rinishda bo‘ladi
Algoritmning dastur matni
program cheklia; uses crt; const n=10;
A0,B0,C0,An,Bn,Cn,Ai,Bi,Ci,Di:real;
i:integer;
al, be:array[1..n] of real; y:array[0..n] of real; function p(x:real):real; begin p:=-2;end; function q(x:real):real; begin q: =x*x*x;end; function f(x:real) :real;
begin f:=12*x*x-8*x*sqr(x)+exp(7*ln (x));end; begin
write('m0,m1,m2,g0,g1,g2=');
readln(m0,m1,m2,g0,g1,g2);
write('a,b=');
readln(a,b);
h:=(b-a)/n;
B0:=-h*m0+m1; A0:=m1; D0:=h*m2;
Bn:=-h*g0-g1; Cn:=-g1; Cn:=h*g2; al[1]:=C0/B0; be[1]:=-D0/B0; for i:=1 to n-1 do begin x:=a+i*h;
Ai:=1 + (h/2)*P(x);Bi:=2-h*h *q(x);
Ci:=1-(h/2)*P(x);Di:=h*h*f(x); al[i+1]:=Ai/ (Bi-Ci*al[i]); be[i+1]:=(Ci*be[i]-Di)/(Bi-Ci*al[i]); end;
y[n]:=(Dn-Cn*be[n])/(-Bn+Cn*al[n]); for i:=n-1 downto 1 do y[i]:=y[i+1]*al[i+1]+be[i+1]; for i:=0 to n do
writeln(y[i]:2:8,' ',sqr(h*i)*sqr(h*i):2:8,' ', abs(y[i]-
sqr(i*h)*sqr(i*h)):2:8); end.
Ishlab chiqilgan algoritm va dastuming ishonchlilik daraja-sini tekshirish uchun quyidagi chegaraviy masalani yechishni tashkil qilib ko‘raylik:
y"(x) - 2 • y'(x) + x³ • y(x) = 12x² - 8x³ + x⁷
differensial tenglamani y(0) = 0 , y (1) = 1


chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish. Dasturdan olingan natijalar quyidagi jadvalda keltirilgan.

x	Taqribiy	Aniq	Xatolik
0.0	0.00000000	0.00000000	0.00000000
0.1	0.00006966	0.00010000	0.00016966
0.2	0.00108964	0.00160000	0.00051036
0.3	0.00712884	0.00810000	0.00097116
0.4	0.02411037	0.02560000	0.00148963
0.5	0.06051107	0.06250000	0.00198893
0.6	0.12722581	0.12960000	0.00237419
0.7	0.23757174	0.24010000	0.00252826
0.8	0.40729307	0.40960000	0.00230693
0.9	0.65456559	0.65610000	0.00153441
1.0	1.00000000	1.00000000	0.00000000

Natijalardan va xatolik miqdorini kam ekanligidan ishlab chiqilgan algoritmdan amaliy masalalarni yechishda keng foydalanish mumkin degan xulosa kelib chiqadi.

i
□
1.
2.
3.
4.
Nazorat savollari
Chekli ayirmali formulalar qanday hosil qilinadi?
Chekli ayirmalar usulida hosil qilinadigan mahsus tenglamalar sistemasi qanday yechiladi?
Haydash usulidagi to‘g’ri va teskari bosqichlarning mohiyatini tushuntirib bering?
Haydash usulini qo‘llash uchun qanday turg’unlik shartlari bajarilishi kerak?

6. 
   §. Galyorkin usuli
   

Tayanch so‘z va atamalar
Galyorkin usuli, izlanayotgan funksiya, tafovut miqdor, bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy shartlar, o'zaro bog’liq bo‘lmagan (ortogonal) bazis funksiyalar.
Yuqorida ta'kidlab o‘tganimizdek. Galyorkin usuli taqribiy- analitik usullar guruhiga kiradi. Mazkur usullar guruhi tarkibiga kiruvchi barcha usullarda berilgan differensial tenglamaning yechimi taqribiy aniqlangan formulalar yordamida topiladi va albatta, yechim ham analitik ko‘rinishda ifodalanadi. Ayniqsa, ko‘pgina fizika va mexanika masalalarining yechimini analitik ko‘rinishda qidirish lozimligi, taqribiy analitik usullarni o‘rganishga katta ehtiyoj tug’diradi.
Deyarli barcha taqribiy-analitik usullarning algoritmlari bir-biriga o‘xshash bo‘lgani uchun quyida Galyorkin usulini o‘rganish bilan cheklanamiz.
Bizga yana avvalgi mavzudagi kabi, quyidagi chegaraviy masala berilgan bo‘lsin, ya'ni:
y"(x )+ p( x) ■ y'( x) + q( x) • y( x) = f (x) (6.24)
tenglama va
|^m0y^(a) + ^miУ ^(a) = ^m2 (₆₂ _)
lg0y(b) + giy’(b) = g2 ⁽ . ⁾
chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi yechimni topish kerak.
Ma'lumki, ixtiyoriy uzluksiz funksiyani cheksiz qator ko‘rinishida ifodalash mumkin:
y^(x) = ^u0^(x) + X C_l^u_l^(x)
i=1
Galyorkin usulida ushbu qatordagi “ n ” ta chekli xad bilan chegaralanib, chegaraviy masalaning yechimini quyidagi ko‘rinishda qidirish taklif etiladi:
У^(x) = ^uo^{( x)} + Z ^сг^иг^(x)


(6.26)
i=1
Bu yerda shuni eslatib o‘tish lozimki, Galyorkin usulida yo‘l qo‘yilgan yagona va asosiy xatolik cheksiz hadli qatorni chekli hadli qatorga almashtirishdan iboratdir. Qatordagi hadlar sonini qancha ko‘p olsak, shunchalik olingan natijalar ishonchli va aniq yechimga yaqin bo‘ladi. Lekin, ikkinchi tomondan, qatordan ko‘proq had olishga intilish qo‘lda bajariladigan matematik almashtirishlar va amallar sonini keskin orttirib yuboradi. Bu esa yo‘l qo‘yilishi mumkin bo‘lgan xatoliklar ehtimolini keskin orttiradi.
Endi e'tiborimizni yana yechimni qidirishga qaratsak, (6.26) formuladagi c₁,c₂,..c_n-lar qiymatlari noma'lum bo‘lgan o‘zgarmaslar hisoblanadi. и₀(x),u₁(x),...,u_n (x) lar esa tanlab olinadigan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz differensallanuvchi, chiziqli bog’liq bo‘lmagan funksiyalar hisoblanadi, ya'ni ular bazis sistemasini tashkil qilishi kerak.
Bazis funksiyalarni shunday tanlash lozimki, (6.26) formula bilan aniqlanuvchi masalaning yechimi c₁,c₂,...,c_n o‘zgarmaslarning ixtiyoriy tanlangan qiymatlarida ham chegaraviy masalaning (6.25) chegaraviy shartlarini qanoatlantirsin. Buning uchun bazis funksiyalarni tanlash quyidagicha amalga oshiriladi.
Avval quyidagi operatorlarni muomalaga kiritaylik:
^L[ y^{( x)]} ° y"C^x)+p^{( x)} y’^{( x)}+q^{( x)} y^{( x),
L}a ^[У^(x)] ° ^m0 У^(x) + ^т1^У(x)
L_b ^[У^(x)] ° goУ^(x) + gi^y(x)

1. 
   u₀(x) funksiya - berilgan (6.25) chegaraviy shartni qanoatlantiruvchi funksiya bo‘lishi lozim, ya'ni:
   

im₀ и ₀(a) + m₁u '₀(a) = m₂ ^ ^[uo^(a)] = ^m2
1 g0^u0^(b) + gi^u\^(b) = g2 ^{yo i} i^Lb^[u0^(b)] = g2 .

2. 
   u₁(x),u₂(x),...,u_n(x) funksiyalari esa berilgan (6.25) chegaraviy shartning bir jinsli holatini qanoatlantiruvchi funksiyalar bo‘lishi lozim, ya'ni:
   

m₀u_i (a) + m_lu_i(a) = 0


^La ^[Ui ^(a)] = ⁰
L_b ^[u^(b)] = ^0
< . , i = i,n yoki
i g 0^ui ^(b) + gl^U'^(b) = ⁰
Bazis funksiyalarni tanlash yo‘llarini quyidagi misolda ko‘rib chiqaylik:
Chegaraviy masalaning chegaraviy shartlari quyidagicha berilgan bo‘lsin:
I y(0) = 1
I y(1) = 0
u₀ (x) ni shunday tanlaymizki, u₀ (0) = 1, u₀ (1) = 0, ya'ni berilgan chegaraviy shart qanoatlansin:
u₀ (x) = 1 - x
Xuddi shunga o‘xshash, boshqa bazis funksiyalar u_k(x) lar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi va chiziqli bog’liqsiz bo‘lishi kerak.



^ u₁( x) = x(1 - x)

^ u ₂( x) = x ²(1 - x)
u₁(0) = 0 u₁(1) = 0
^u2⁽⁰⁾= ⁰ u 2(1) = 0