Bob. Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish usullari

Nazorat savollari
□

1. 
   Runge - Kutta usulining ishchi formulasi qanday hosil qilinadi?
   
2. 
   Runge - Kutta usulining aniqligi boshqa usullarga qaraganda nima uchun aniqroq deb hisoblanadi?
   
3. 
   Runge - Kutta usulida yechim aniqligini yanada oshirish imkoni mavjudmi?
   

4. 
   §. Chegaraviy masala va uni yechish usullari Tayanch so‘z va atamalar
   

Chegaraviy masala, chegaraviy shart, chegaraviy masalani yechish usullari, analitik usullar, sonli-taqribiy usullar, taqribiy- analitik usullar.
Oldingi paragraflarda ta'kidlab o‘tganimizdek, differensial tenglamalar orqali juda ham ko‘p va turli-tuman jarayonlarning matematik modellari ifodalanadi. Ma'lumki, amaliyotchilarni differensial tenglamalarning umumiy yechimlari emas, balki qandaydir qo‘shimcha shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlari ko‘proq qiziqtiradi. Qo‘shimcha shartlar esa o‘zlarining qo‘yilish ma'nosiga ko‘ra boshlang’ich va chegaraviy shartlarga bo‘linadi. Boshlang’ich shartli differensial tenglamalarni yechish yo‘llari bilan oldingi paragrafda tanishib o‘tdik.
Chegaraviy masalalarda differensial tenglamalarni qaralayotgan sohaning chegaralaridagi shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini topish masalasi o‘rganiladi. Odatda, chegaraviy shartlar integrallash sohasini chegaralarida berilib quyidagi masalalarga bo‘linadi: Dirixle masalasi, Neyman masalasi va aralash masala. Endi chegaraviy masalalarni qo‘yilishi va ularni yechish usullari bo‘yicha batafsil to‘xtalib o‘taylik. Odatda, chegaraviy masalani yechishni
o‘rganishni ikkinchi tartibli, o‘zgaruvchan koeffisientli oddiy differensial tenglamalarni turli xil chegaraviy shartlarda yechish orqali amalga oshiriladi.
Shunday qilib, bizga quyidagi ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamaning
У"(x) + P(x)y"(x) + Q(x)y(x) = f (x) , a < x < b (6.5) integral oralig’ining chetki nuqtalari x = a va x = b larda berilgan
^m0y^(a) + ^m1 y'(^a) = m2^, g0y^(b) + g 1 y'(^b) = g2 (6.6)
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi aniq yechimi y = y(x)ni topish kabi chegaraviy masalani yechish masalasi qo‘yilgan bo‘lsin. Bu yerda P(x), Q(x), f (x) - [a, b] oraliqda berilgan uzluksiz funksiyalar,
m₀, mj, m₂, g₀, gj, g₂ - berilgan sonlar, ularni chegaraviy shart belgilari deb ham ataladi. Bu o‘zgarmaslar baravariga nolga teng emas, ya'ni
|m₀1 + |mj ^ 0 va |g₀ l+lgj I ^ 0
Chegaraviy shart belgilariga turli xil qiymatlarni berish orqali, berilgan masalani yechish uchun har xil chegaraviy shartlar hosil qilinishi mumkin.
Ayrim paytlarda yechilishi lozim bo‘lgan masalalarning matematik modellari to‘rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar orqali ham ifodalanishi mumkin.
Amalda ko‘pincha to‘rtinchi tartibli differensial tengla-malarning quyidagi ko‘rinishi uchraydi:
y^IV(^x) = к • ^f(^x)
bu yerda к qiymati beriluvchi koeffisient hisoblanadi. Bu differensial tenglama uchun ma'lum belgilashlarni kiritib, uni ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin.
y(x) noma'lum funksiyani y,(x) ^nksiya orqali belgilab olib, quyidagi almashtirishlar qilamiz, ya'ni:
j у1^{( x)} = y 2^{( x)}
i У l^{( x)} = ^k •^{f (x)}
Shunday qilib, to‘rtinchi tartibli differensial tenglamaning o‘rniga ham ikkita, ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini hosil qilishimiz mumkin. Shuning uchun, biz asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini topishni o‘rganamiz.
Avval ta'kidlab o‘tganimizdek, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarda xususiy yechimni ajratib olish uchun ikkita qo‘shimcha shart, yani chegaraviy shartlar b erilgan bo‘lishi lozim. Bundan buyon, qulaylik uchun ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish masalasini oddiygina qilib chegaraviy masala deb yuritamiz.
Chegaraviy masalalarni yechish usullarini quyidagi guruhlarga bo‘lish mumkin:

1. 
   Analitik usullar;
   
2. 
   Sonli-taqribiy usullar;
   
3. 
   Taqribiy-analitik usullar.
   

1. 
   Analitik usullar. Oddiy differensial tenglamalarni analitik usullar bilan yechishni oliy matematika kursida o‘rganganmiz. Unda chiziqli, bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi bu tenglamaning xususiy yechimi va mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi yig’indisidan iboratdir. Chiziqli, bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimini topish uchun esa uning xususiy yechimlari fundamental sistemasini topish kerak bo‘ladi. Xususiy yechimlarni differensial tenglamalarga mos xarakteristik tenglamalar yordamida topiladi. Yuqoridagi barcha bajariladigan amallar differensial tenglamaning ko‘rinishi juda sodda bo‘lgandagina biror-bir natija b erishi mumkin.
   

Demak, analitik usullar bilan barcha ikkinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish imkoni deyarli yo‘q.

2. 
   Sonli-taqribiy usullar.
   

Sonli-taqribiy usullarda yechim sonlar yoki sonlar jadvali ko‘rinishida olinadi. Albatta, bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan almashtirib olinadi. Sonli usullarning imkoniyatlari boshqa taqribiy usullarga qaraganda ancha kengdir. Sonli usullar ikki guruhga bo‘linadi:

1. 
   Chegaraviy masalalarni Koshi masalasiga keltiruvchi usullar;
   
2. 
   Chekli ayirmalar usuli.
   

Biz ko‘proq e'tiborni sonli usullar ichida eng ko‘p ishlatiladigani - chekli ayirmali usullarga qaratamiz.

3. 
   Taqribiy-analitik usullar.
   

Bu usulda differensial tenglama va qo‘shimcha shartlar u yoki bu darajada soddalashtirilib, masala osonroq masalaga keltiriladi. Taqribiy- analitik usullarga Galyorkin, eng kichik kvadratlar , kollokasiya , Rits va boshqa usullar kiradi. Amalda eng ko‘p ishlatiladigan usullardan biri bu Galyorkin usulidir.