B’ladi. Demak f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi xosilasi

b’ladi.Demak f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi xosilasi

da

nisbatning limiti sifatida ham tariflanishi mumkin.

Agar f(x) funksiya (a,b) intervalning xar bir x nuqtasida xosilaga ega bo’lsa ,bu xosila x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi.

Misollar;1. f(x) =C=const bolsin.Ravshanki ,bu funksiyaning nuqtadagi orttirmasi

Bolip undan,

Kelib chiqadi.Demak o’zgarmas sonning hosilasi no’lga teng .

2. y = f(x) =x bo’lsin .Bu funksiya uchun

bo’lip ,undan f(x) =x funksiyaning ihtiyoriy x nuqtadagi hosilasi y’ =1 bo’lishini topamiz .

3. bo’lsin. Bu funksiyaning x=0 nuqtadagi

orttirmasi bo’ladi,ammo ning limiti mavjud bo’lmaydi,chunki

Demak f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada hosilaga ega emas.

4. f(x)= funksiyaning x=1 nuqtadagi hosilasini toping .Funksiya hosilasining (6.1) tarifidan foydalanib topamiz.


Demak

5. 
   funksiyaning ihtiyoriy x>0 nuqtadagi hosilasini hisoblang .Berilgan funksiyaning x>0 nuqtadagi orttirmasi
   

bolib

bo’ladi.

Agar ushbu

Ma’lum limitni etiborga olsak (134-betga qarang) unda

Limit o’rinli bo’ladi,Demak

6. f(x) =cosx funksiyaning ihtiyoriy nuqtadagi hosilasini hisoblang .Bu funksiya uchun

Bolip

Bo’ladi.Demak ,(cos)’= -sin x ,

7.

Funksiyaning

nuqtadagi hosilasini toping .Bu funksiyaning hosilasi x o’zgaruvchining ushbu

Funksiyasi bo’ladi.
2-tarifi; Agar

nisbatning limiti

Mavjud va chekli bo’lsa ,bu limit f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi deb ataladi .Funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi kabi belgilanadi.

Odatda funksiyaning o’ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ham ataladi.

Misol; ni qaraylik.Bu funksiyani mazkur bandning 3-misolida ko’rganmiz.Bizga malumki -1

Funksiyaning x=0 nuqtadagi o’ng hosilasi 1ga ,chap hosilasi -1 ga teng .

Funksiya hosilasi haqida 1- va 2- tariflardan hamda funksiya limiti haqidagi (4-bob,3-mavzuga qarang ) teoremalardan quyidagilar kelib chiqadi.

1. 
   agar f(x) funksiya x0 nuqtada f’(x0) hosilaga ega bo’lsa ,funksiya shu nuqtada bir tomonli f’(x0+0),f’(x0-0) hosilalarga ham ega bolib ,
   

tengliklar o’rinli bo’ladi .

2. 
   Agar biror atrofida uzluksiz f(x) funksiya x0 nuqtada bir tomonli f’(x0+0) va f(x0-o) hosilaga ega bolib bu hosilalar o’zaro teng bo’lsa funksiya shu nuqtada f’(x0) hosilaga ega va
   

f’(x0) = f’(x0+o) =f’(x0-0)

Boladi

1. 
   ESLATMA;
   

Agar da nisbatning limiti aniq ishorali cheksiz bo’lsa ,uni ham f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deb yuritiladi.Bunday holda f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi yoki ga teng deyiladi.

2. Hosilaning geometrik va mehanik manolari.

A)H0silaning geometrik manosi.f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan va uzluksiz bolib nuqtada f’(x0) hosilaga ega bolsin.Hosila tarifiga kora

b’oladi.f(x) funksiyaning grafigi biror Г chiziqni ifodalasin. Endi Г chiziqda Mo nuqtadan farqli

nuqtani olib,bu nuqtalar orqali l kesuvchi bo’tkazamiz .l kesuvchi ox o’qi bilan tashkil etgan burchakni bilan belgilaylik.ravshanki burchak ga bog’liq bo’ladi.

Agar l kesuvchining M nuqta Г chiziq bo’ylab M0 ga intilganda limit holati mavjud bo’lsa ,kesuvchining bu limit xolati Г chiziqqa M0 nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi.Urinma – to’g’ri chiziqdan iborat.

Ma’lumki ,M0 nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq shu nuqtaning koordinatalari hamda bu to’g’ri chiziqning burchak koeffitsenti orqali to’liq aniqlanadi.

F(x) funksiya grafigiga M0 nuqtada o’tkazilgan urinmaning mavjud bo’lishi uchun

Limitning mavjudligini ko’rsatish yetarli ,bunda a-urinmaning ox o’q bo’ylab tashkil etgan burchagi.

Bo’lishini topamiz .Shunday qilib f(x) funksiya

nuqtada f’(x0) hosilaga ega bo’lsa,bu funksiya grafigiga M0(x0,f(x0)) nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud.Funksiya x0 nuqtadagi hosilasi f’(x0) esa bu urinmaning burchak koeffisentini ifodalaydi.Urinmaning
tenglamasi esa ushbu

Ko’rinishda bo’ladi.

Masalan parabolaga x=1 nuqtada o’tkazilgan
urinma yani
y=2x-1
tenglama bilan ifodalanadi.

Agar f(x) funksiya nuqtada bir-biriga teng bo’lmagan f’(x+0) , f’(x-0) bir tomoli hosilaga ega bo’lsa shu f(x) funksiya grafigiga M0(x0, f(x0)) nuqtada bir tomonli urinmaklar o’tkazish mumkin va bu urinmalar ustma ust tushmaydi.Bu holda f(x) funksiya grafigi (x0,, f(x0)) nuqtada” sinadi” deyish mumkin.

Masalan ,malumki,f(x) = x funksiyaning x=0 nuqtada bir tomonli hosilalari f’(+0)=1 , f’(-0)=-1 bo’ladi.