Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar reja: Birinchi tur sirt integralining ta’rifi Birinchi tur sirt integralini hisoblash

Yechish: doira yuqoridagi formulani qo’llab ni hosil qilamiz Qutb koordinatasiga o’tsak,
ga ega bo’lamiz.


. Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasi

Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasini bayon etishdan avval sirt tomonlari, ikki tomonli sirt tushunchalarini keltiramiz.

Faraz qilaylik, fazoda biror sirt berilgan bo‘lsin. Ravshanki, bu sirtning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bo‘lib, urinish nuqtasi sirt bo‘lib uzluksiz o‘zgara borsa, mos urinma tekislik ham (uning normali ham ) o‘z holatini uzluksiz o‘zgartira boradi .
sirtda biror nuqtani olaylik. Bu nuqta orqali o‘tkazilgan sirt normali ikki yo‘nalishga ega bo‘lib, ulardan birini tayinlaymiz. So‘ng nuqtadan chiqib, shu nuqtaga qaytadigan yopiq chiziqni (konturni) qaraymizki, u sirtga tegishli bo‘lsin va sirtning chegarasini kesmasin.
nuqtada sirt normalini malum yo‘nalish, olinganligini e’tiborga olib, o‘zgaruvchi nuqtani dan boshlab, kontur bo‘yicha xarakatlantirib yana nuqtaga qaytganda (bu xolda nuqta kontor bo‘ylab o‘zgarganda mos nuqtadagi sirt normali xam o‘zgarib boradi) ikki xol sodir bo‘ladi:

1. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi shu nuqtaga qaytib kelganda qarama-qarshisiga o‘zgaradi;
   
2. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi qaytib shu nuqtaga kelganda ham o‘zgarmaydi.
   

Birinchi holda sirt bir tomonli sirt deyiladi, ikkinchi holda esa sirt ikki tomonli sirt deyiladi.
Masalan,

tenglama bilan aniqlanadigan sirt (giperboloid 3 – chizma),

3 – chizma

ikki tomonli sirt bo‘ladi. Bu sirt yuqori va quyi (ustki va ostki) tomonlarga ega.
Shuningdek

tenglama bilan aniqlanadigan sirt (markazi (0,0,0) nuqtada, radiusi 1 ga teng sfera) ham ikki tomonli sirt bo‘lib, uning tashqi va ichki tomonlari bo‘ladi.
Biz ikki tomonli sirtlarni qaraymiz.
Aytaylik, fazoda sirt

tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, bunda funksiya tekisligidagi da uzluksiz hamda uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. ( to‘plam sirtning tekisligidagi proyeksiyasi).
Bu ikki tomonli sirt bo‘lib, uning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud.
sirtda, uning chegarasi bilan kesishmaydigan yopiq chiziqni olaylik. Bu yopiq chiziqning tekisligidagi proyeksiyasi bo‘lsin.
Agar nuqta sirtning yopiq chiziq bilan chegaralangan qismiga tegishli bo‘lib, bu nuqtadagi sirt normali o‘q bilan o‘tkir burchak tashkil etsa (bunda sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo‘ladi) va yopiq chiziqlarning yo‘nalishlari musbat bo‘lib, bilan chegaralangan shaklning yuzi musbat ishora bilan olinadi.
Agar nuqtadagi sirt normali o‘q bilan o‘tmas burchak tashkil etsa (bunda sirtning ostki tomoni qaralayotgan bo‘ladi) ning manfiy yo‘nalishiga ning musbat yo‘nalishi mos kelib, bilan chegaralangan shaklning yuzi manfiy ishora bilan olinadi.
Aytaylik, yuqorida aytilgan

tenglama bilan aniqlangan sirtda (sirt nuqtalari to‘plamida) funksiya aniqlangan bo‘lsin. Bu sirtning ikki tomonidan birini tanlaymiz.
sirtni undagi chiziqlar yordamida ta

bo‘laklarga ajratamiz. Bu sirt bo‘lakchasi ning tekisligidagi proyeksiyasi ning yuzini deylik.
Har bir da ixtiyoriy nuqta olib, bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni ga ko‘paytirib quyidagi
(1)
yig‘indini tuzamiz. Uni integral yig‘indi deyiladi.
Agar da (6) yig‘indi chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit funksiyaning sirtning tanlangan tomoni bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va
(2)
kabi belgilanadi. Demak,

Eslatma. Yuqoridagi (7) integral qaralganda har gal sirtning qaysi tomoni olinganligi aytib boriladi.
funksiyaning sirtning bir tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilangina farq qiladi.
Yuqoridagidek, ushbu

ikkinchi tur sirt integrallari ta’riflanadi.
Umumiy holda, sirtda , va funksiyalar berilgan bo‘lib, ushbu

integrallar mavjud bo‘lsa, u holda

yig‘indi ikkinchi tur sirt integralning umumiy ko‘rinishi deyiladi va u
(8)
kabi belgilanadi. Demak,

Faraz qilaylik, fazoda biror jism berilgan bo‘lib, uni o‘rab turgan yopiq silliq sirt bo‘lsin. Bu da funksiya aniqlangan deylik. jismni tekisligiga parallel bo‘lgan tekislik yordamida ikki qismga ajratamiz:

Natijada uni o‘rab turgan sirt ham va sirtlarga ajraladi.
Ushbu

ikkinchi tur sirt integrallarining yig‘indisi

funksiyaning yopiq sirt bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va

kabi belgilanadi:
.
Bunda tenglikning o‘ng tomonidagi birinchi integral sirtning ustki tomoni, ikkinchi integral esa sirtning ostki tomoni bo‘yicha olinadi.
Xuddi yuqoridagidek

hamda, umumiy holda

integrallar ta’riflanadi.