Birinchi tartibli differensial tenglamalarning maxsus yechimi. Klero tenglamasi. Langranj tenglamasi

2. O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar.

Bir jinsii differensial tenglamalar
Birinchi tartibli ikkala qismini oddiy integrallash yo`li bilan yechiladigan sodda tenglama

y′ = f(x) (3)

ko`rinishga ega. Natijada, y = ∫f(x)dx va agar f(x) funksiyaning bosh-lang`ich funksiyalaridan biri F(x) bo`lsa, umumiy yechim y = F(x)+c ko`rinishda yoziladi.

(3) tenglamaning muhim umumlashmasi bo`lmish o`zgaruvchilari aj-raladigan differensial tenglama:

y′ = P(x) - q(y) yoki dy/dx = P(x) · q(y) (4)

shaklda yozilishi mumkin.

Noma`lum funksiya у ning qaralayotgan o`zgarish sohasida q(y) ≠ 0 shart bajariladi deb, (4) tenglamani o`zgaruvchilari ajralgan.
dy/q(y) = P(x)·dx

shaklda yozamiz va ikkala qjsmini integrallab,

∫dy/q(y) = ∫P(x)·dx

tenglikni olamiz. Q(y) funksiya l/q(y) funksiyaning, P(x) esa p(x) ning boshlang`ich funksiyalaridan biri bo`lsa, (4) tenglamaning umumiy in-tegrali:

Q(y) = P(x) + c

ko`rinishdan iborat.

Masala. y′ = x - y² tenglamaning barcha yechimlarini topish talab qi-lingan bo`lsin. y ≠ 0 shart o`rinli deb, tenglama o`zgaruvchilarini aj-ratamiz.

dy/dx = x·y² yoki dy/y² = x·dx.

Tenglamani integrallab, -1/y = ½ - x² + с yoki

ko`rinishda umumiy yechimni olamiz. Ushbu yechimga tenglamani yechish jarayonida yo`qotilgan y = 0 yechimni ham qo`shish lozim. Bi-rinchi tartibli bir jinsli differensial tenglama deb,

dy/dx = f(y/x) (5)

ko`rinishdagi tenglamaga aytiladi.

(5) tenglamani yechish uchun noma`lum y(x) funksiyadan u(x) = y(x)/x funksiyaga o`tamiz. Unda,

у = x·u, dy/dx = u + x·du/dx

tengliklar o`rinli bo`lib, (5) tenglama:

u + x·du/dx = f(u) yoki du/(f(u) - u) = dx/x

ko`rinishga keltiriladi. Oxirgi tenglama o`zgaruvchilari ajralgan differensial tenglamadir va ma`lum usulda yechiladi. Natijada,

u(x) funksiya topilgandan so`ng, y(x) = x·u (x) funksiyaga qaytiladi.

Masala.

tenglamani yeching.

Ushbu tenglama bir jinsli tenglama, chunki

bu yerda, u = y/x.

Noma`lum u fiinksiyaga nisbatan o`zgaruvchilari ajralgan:

yoki

tenglama hosil bo`ladi. Tenglamani integrallasak,

-1/2 · ln|-u² + 2u + 1| = ln|x| - 1/2 - ln|C|

tenglikni va so`ngra,

|-u² + 2u + l|^-l/2 = |x|· 1/ yoki x²·|- u² + 2u + l| = |C| yechimlarni va oxirida y = x - u funksiyaga qaytib, oshkormas shaklda:

х² + 2ху - у² = С

umumiy integralni quramiz.