Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

Chiziqli tengsizliklar sistemasining birgalikdalik kriteriyasi.
P- maydonga nisbatan L chiziqli fazo berilgan bo’lsin. Biz bu fazoni L(P) ko’rinishida belgilaymiz.
F_j(x) – a_j = l_j(x₁, …, x_n) – a_j=a_j1x₁ + … + a_jnx_n – a_j 0 (j = 1, ) (1)
Chiziqli tengsizliklar sistemasini qaraymiz.

A= va =
Matritsalarga mos ravishda (1) – sistemaning asosiy va kengaytirilgan matritsalari deyiladi. A ning rangiga (1) – sistemaning rangi deyiladi. Ushbu paragrafda biz quyidagi teoremani isbotlaymiz.
Teorema. P­­ⁿ fazodagi rangi r>0 ga teng bo’lgan (1) – chiziqli tengsizliklar sistemasining yechimiga ega bo’lishi uchun A matritsada

, (j = 1, ) (2)
Shartni qanoatlantiruvchi r-tartibli noldan farqli

=
minorning mavjud bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isboti: Agar noldan farqli rangga ega bo’lgan (1) sistema birgalikda bo’lib uning yechimi shu sistemadagi nol bo’lmagan (x) funksiya qatnashgan tengsizlikni tenglikka aylantirsa bunday yechimga (1) sistemaning chegaraviy yechimi deyiladi. Agarda rangi r>0 bo’lgan chegaraviy yechimi (1)ning r ta (r>0) tengsizligini tenglikka aylantirsa bunday yechimga (1)ning tugun yechimi deyiladi. Bunday r ta tengsizlikdan tuzilgan qismiy sistemaga ega (1) ning tugun qismiy sistemasi deyiladi.
Agar (1) sistemaning rangi r>0 bo’lsa [u] dagi u.1.1-teoremaga asosan hech bo’lmasa birorta tugun sistemaga va uning rangi ham r ga teng bo’ladi. U holda (1) sistemaga kiruvchi chiziqli formalar (x₁,, … , x_n) lar orasida r ta chiziqli bog’lanmagan formalar
mavjud bo’lib
- x₁+… + x_n - =0 (k=1, 2, ..., r) (3)
Tenglamaning har bir yechimi (1) sistemani qanoatlantiradi. Umumiylikni chegaralanmagan holda j₁ j₂ j_r deb hisoblash mumkin.
Tanlangan formalar chiziqli bog’lanmagan bo’lganligi sababli (1) sistemaning koeffitsentlaridan tuzilgan matritsa noldan farqli r>0 tartibli.
=
minorga ega bo’ladi. Endi x_j = l_j (x₁,, … , x_n) deb belgilash kiritb aynan nolga teng bo’lgan
, (j = )
determinantni qaraymiz. Bu yerdan
x_j = - , (j = )
Bundan foydalanib (1) sistemani quyidagicha yzoish mumkin:
- (j = ) (4)
Bu tengsizlikni j = j₁, j₂, … j_r bo’lganda (4) dan (k = ) ni hosil qilamiz. (4) dagi x_j (k = ) noma’lumlarni ularning (x₁, … , x_n) noma’lumlar orqali ifodasi = (x₁, … , x_n) bilan almashtirilganda (4) sistema (1) sistemaga aylanadi va (1) ni (3) ning barcha yechimlari qanoatlantirgani uchun (4) da lar o’rniga elementlarini qo’ysak (4) tengsizlik o’zgarmay qoladi. Buning natijasida hosil bo’lgan (2) tengsizlik (1) ning yechimiga ega bo’lishining zaruriy shartini beradi.
Endi agar (1) sistemaning matritsasi biror noldan farqli r-tartibli minori
=
uchun (2) munosabat bajarilsa, u holda (1) sistemaning birgalikda ekanligini ko’rsatamiz. Haqiqattan ham (2) munosabatdan (4) sistemaning
) = ( ) (5)
yechimga ega ekanligi krlib chiqadi. (5) da noma’lumlarni ularning x₁, … , x_n
noma’lumlar orqali ifodasi bilan almashtirb (3) – sitemaga kelamiz. R-tartibli minori bo’lgani uchun sistemaning rangi undagi tenglamalar soni bilan bir xil bo’ladi va demak bu sistema birgalikda (4)-sistemaning yechimi (5) mavjud bo’lgani uchun ham (3) ning har bir yechimi
- , (j = ) (6)
sistemani qanoatlantiradi. Bu Sistema esa (1) dan faqat yozilish shakli bilangina farq qiladi. Shuning uchun ham (1) Sistema ham birgalikdagi Sistema bo’ladi. Shunday qilib (2) sistemaning bajarilishi (1) ning birgalikda bo’lishing yetarli sharti hamdir.
Teorema to’la isbot bo’ldi.
n – algebraik amalni α bilan belgilasak α (a₁, … , a_n) = a_n+1. Ba’zi hollarda a_n+1 A bo’lishi mumkin. Bunday hollarda qaralayotgan algebraik amal qismiy algebraik amal deb yuritiladi. Algebraik amallar nol, bir, ikki, uch, … , o’rinli bo’lishi mumkin. Ular mos ravishda nular, unar, binar, ternar, … n - ar algebraik amal deyiladi.

1. 
   A to’plamning istalgan elementini alohida olish nular algebraik amaldir.
   
2. 
   P(M) M to’plamning barcha qism to’plamlari to’plami bo’lsin. Har bir
   

A to’plamning to’ldiruvchisi bo’sin. A = M/A ni mos qo’yuvchi akslantirish unar algebraic amalga misol bo’ladi.

3. 
   Natural sonlar to’plamidagi ayirish amali qismiy algebraik amalga misol bo’ladi.
   
4. 
   Butun sonlar to’plamidagi bo’lish amali ham butun sonlar to’plamidagi qismiy algebraik amaldir.
   
5. 
   n ta natural sonlar a₁, a₂, … , a_n ga ularning eng katta umumiy bo’luvchisini MO amal n – ar algebraik amaldir
   

Bitta A to’plamda aniqlangan barcha algebraik amallar f₁, f₂, …, f_s bo’lsin.
3-ta’rif. Bo’sh bo’lmagan A to’plam va unda aniqlangan algebraik amallar to’plami Ω dan tuzilgan juftlikka algebra deyiladi. Agar Ω dagi amallar soni chekli bo’lsa, ular sanab ko’rsatiladi, ya’ni < A; f₁, f₂, …, f_s > ko’rinishida yoziladi. A = < A Ω > - bo’sa A to’plamga A algebraning asosiy to’plami deyiladi. α – algebraik amalning rangi r(f) ko’rinishda belgilanadi. r(f₁), r(f₂), …, r(f_s) ga
< A; f₁, f₂,… f_s > algebraning tipi deyiladi.
, tipli
, tipli
, tipli algebradir.