Birinchi darajali ko’p no’malumli tengsizliklar sistemasining no’manfiy yechimlari”

4- misol. va formulalar teng kuchli formulalardir. Haqiqatdan ham, berilgan formulalarda faqat bitta elementar mulohaza ishtirok etgani uchun ikkita qiymatlar satriga ega chinlik jadvalini tuzamiz (2- jadvalga qarang). 2- ta’rifga asosan . ■

2- jadval
yo	yo
ch	ch

3- jadval
yo	yo	ch	ch	ch
yo	ch	ch	ch	ch
ch	yo	yo	yo	yo
ch	ch	yo	ch	ch

5- misol. Berilgan va formulalarni mos ravishda va bilan belgilaymiz: , . 3- chinlik jadvalidan ko‘rinib turibdiki, va formulalar tarkibidagi va elementar mulohazalarning to‘rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil. Demak, 2- ta’rifga asosan , ya’ni . ■
6- misol. va formulalar berilgan bo‘lsin. 4- chinlik jadvalini tuzamiz. va formulalar tarkibida ishtirok etuvchi va elementar mulohazalarning to‘rtala qiymatlar satrlari uchun bu formulalarning mos qiymatlari bir xil.
Demak, berilgan va formulalar ekvivalent formulalardir, ya’ni . ■

4- jadval
yo	yo	ch	ch	yo
yo	ch	ch	ch	ch
ch	yo	yo	ch	yo
ch	ch	yo	ch	ch

7- misol. va formulalar teng kuchlimas formulalardir. Haqiqatdan ham, 5- chinlik jadvalidan ko‘rinib turibdiki, berilgan va formulalar tarkibida ishtirok etuvchi va elementar mulohazalarning to‘rtta qiymatlar satrlaridan ikkitasi (2- va 3- satrlari) uchun bu formulalarning mos qiymatlari har xil. Demak, 3- ta’rifga asosan, berilgan va formulalar ekvivalentmas formulalardir, ya’ni . ■

5- jadval
yo	yo	ch	ch	yo
yo	ch	ch	ch	ch
ch	yo	yo	ch	yo
ch	ch	yo	ch	ch

Odatda, mulohazalar algebrasida ekvivalensiya bilan teng kuchlilik orasidagi farqni anglash maqsadida, ular oddiy algebradagi, mos ravishda, tenglama va ayniyat bilan qiyoslanadi. Tenglamada (masalan, va o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamada) o‘zgaruvchilarning ayrim (masalan, , ) qiymatlari uchun tenglik o‘rinli bo‘lib, boshqa (masalan, , ) qiymatlari uchun bu tenglik o‘rinli bo‘lmasligi mumkin. Shunga o‘xshash, ekvivalensiyada ishtirok etuvchi (masalan, ekvivalensiyadagi , va ) o‘zgaruvchilarning o‘rinlariga qandaydir (masalan, , , ) qiymatlar qo‘yganda ekvivalensiya ch qiymat qabul qilib, boshqa (masalan, , , ) qiymatlar uchun yo qiymatga erishishi mumkin.
Oddiy algebrada ayniyat deb shunday tenglik tushuniladiki (masalan, tenglik), bu tenglik, unda qatnashgan barcha o‘zgaruvchilarning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari uchun, o‘rinlidir. Shunga o‘xshash, matematik mantiqdagi teng kuchlilik shunday mulohazaki (masalan, mulohaza), bu mulohaza, unda qatnashgan barcha o‘zgaruvchilarning mumkin bo‘lgan barcha qiymatlari uchun to‘g‘ridir.
Matematik mantiqda formula tushunchasi bilan bir qatorda mantiqiy ifoda tushunchasi ham qo‘llaniladi. Mantiqiy ifoda shunday murakkab mulohazaki, uning tarkibida berilgan elementar mulohazalardan inkor, diz’yunksiya, kon’yunksiya, implikasiya, ekvivalensiya mantiqiy amallari bilan bir qatorda mulohazalar algebrasidagi boshqa amallarining ham chekli kombinatsiyasi va, zarur bo‘lganda, mulohazalar ustida mantiqiy amallarning bajarilish tartibini ko‘rsatuvchi qavslar qatnashishi mumkin. Mantiqiy ifoda tushunchasiga ham formula tushunchasiga matematik induksiya usuliga tayangan holda berilgan ta’rifga o‘xshash qat’iy ta’rif berilishi mumkin. Mantiqiy ifodalarning teng kuchliligi tushunchasini ham formulalar teng kuchliligi tushunchasiga o‘xshash aniqlash mumkin.
Oddiy algebrada aynan teng qiymatga ega ifodalarni bir-biri bilan almashtirish mumkin bo‘lganidek, mulohazalar algebrasida ham mantiqiy ifoda tarkibidagi qismiy mantiqiy ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) ularga teng kuchli bo‘lgan ifodalar (formulalar, mulohazalar) bilan almashtirish, ya’ni o‘rniga qo‘yish usulidan foydalanish mumkin. Bu esa murakkab ifodalarni (formulalarni, mulohazalarni) soddalashtirish imkonini beradi.
Yuqorida tenglama bilan ekvivalensiya va ayniyat bilan teng kuchlilik orasida o‘xshashlik borligini ko‘rdik. Endi tenglik bilan ekvivalensiya orasida farq ham borligini ko‘rsatamiz. Ma’lumki, oddiy algebrada hech qanday almashtirish yordamida tenglikni arifmetik amallar (qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish) vositasida ifodalab bo‘lmaydi. Mulohazalar algebrasida esa ekvivalensiyani boshqa mantiqiy amallar vositasida ifodalash mumkin. Masalan, ekvivalensiyani implikasiya va kon’yunksiya amallari vositasida ifodalash mumkin: berilgan va elementar mulohazalar uchun teng kuchlilik o‘rinliligi 6- chinlik jadvalidan ham ko‘rinib turibdi.

6- jadval
yo	yo	ch	Ch	ch	ch
yo	ch	ch	Yo	yo	yo
ch	yo	yo	Ch	yo	yo
ch	ch	ch	Ch	ch	ch

Mulohazalar algebrasini oddiy algebra bilan qiyoslashda davom etib, oddiy algebrada tenglik uchun quyidagi xossalar (aksiomalar) o‘rinliligini eslatamiz:
1) ixtiyoriy son uchun (refleksivlik);
2) ixtiyoriy ikkita va sonlar uchun agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi (simmetriklik);
3) ixtiyoriy uchta , va sonlar uchun agar va bo‘lsa, u holda bo‘ladi (tranzitivlik).
Shunga o‘xshash, mulohazalar algebrasidagi teng kuchlilik (ekvivalentlik) ham refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega:
1) ixtiyoriy mulohaza uchun ;
2) ixtiyoriy ikkita va mulohazalar uchun, agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi;
3) ixtiyoriy uchta , va mulohazalar uchun agar va bo‘lsa,
u holda bo‘ladi.