Bir pallali giperboloid to`G`ri chiziqli yasovchilari

GIPERBOLIK PAROBOLOIDNING TO`G`RI CHIZIQLI YASOVCHILARI
Kartezyen o'qlarining + 45º o'qiga nisbatan aylanishiga mos keladigan x va y o'zgaruvchilarga transformatsiya qo'llaniladi. Eski x va y koordinatalari quyidagi munosabatlarga muvofiq yangi x 'va y' ga o'zgartiriladi:
x = x '- y'
y = x '+ y'
z koordinatasi bir xil bo'lib qolganda, ya'ni z = z ’.
Z = x tenglamaga almashtirish orqali biz quyidagilarga egamiz:
z ’= (x’ - y ’) (x’ + y ’)
Kattalar farqiga teng bo'lgan yig'indiga farqning sezilarli mahsulotini qo'llash orqali biz quyidagilarga egamiz:
z ’= x’² - Y '²
giperbolik paraboloidning dastlab berilgan ta'rifiga aniq mos keladi.
XY o'qiga parallel bo'lgan tekisliklarni g = g = hiperbolik paraboloid bilan ushlab turish va x = 0 va y = 0 tekisliklarni asimptotsiz bo'lgan teng qirrali giperbolalarni aniqlang.
- 2-misol
Parametrlarni aniqlang ga Y b A (0, 0, 0) nuqtalardan o'tgan giperbolik paraboloidning; B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) va D (2, -1, 32/9).
Qaror
Uning xususiyatlariga ko'ra, uch o'lchovli kosmosdagi to'rt nuqta bitta giperbolik paraboloidni aniqlaydi. Umumiy tenglama:
z = (x / a)² - (y / b)²
Biz berilgan qiymatlarni almashtiramiz:
A nuqta uchun bizda 0 = (0 / a) mavjud² - (0 / b)², a va b parametrlarining qiymatlari qanday bo'lishidan qat'iy nazar qondiriladigan tenglama.
B nuqtasini almashtirib, quyidagilarni olamiz:
5/9 = 1 / a² - 1 B²
S nuqtasi uchun u qoladi:
32/9 = 4 / a² - 1 B²
Va nihoyat, D nuqtasi uchun quyidagilarni olamiz
32/9 = 4 / a² - 1 B²
Qaysi oldingi tenglama bilan bir xil. Oxir oqibat, tenglamalar tizimini echish kerak:
5/9 = 1 / a² - 1 B²
32/9 = 4 / a² - 1 B²
Birinchisidan ikkinchi tenglamani olib tashlasak:
27/9 = 3 / a² shuni anglatadiki, a² = 1.
Xuddi shu tarzda, ikkinchi tenglama birinchisining to'rtburchagidan chiqarib olinadi:
(32-20) / 9 = 4 / a² - 4 / a² -1 B² + 4 / b²
Qaysi biri soddalashtirilgan:
12/9 = 3 / b² B² = 9/4.
Qisqacha aytganda, berilgan A, B, C va D nuqtalardan o'tgan giperbolik paraboloid dekartez tenglamasiga ega:
z = x² - (4/9) va²
- 3-misol
Giperbolik paraboloidning xususiyatlariga ko'ra har bir nuqtadan uning ichida to'liq joylashgan ikkita chiziq o'tadi. Z = x ^ 2 - y ^ 2 holati uchun giperbolik paraboloidga aniq tegishli bo'lgan P (0, 1, -1) nuqtadan o'tgan ikkita chiziq tenglamasini toping, shunda bu chiziqlarning barcha nuqtalari ham bir xil.
Qaror
Kvadratchalar farqining ajoyib mahsulotidan foydalanib, giperbolik paraboloid uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
(x + y) (x - y) = c z (1 / c)
Bu erda c nolga teng bo'lmagan doimiy.
X + y = c z tenglama va x - y = 1 / c tenglama normal vektorli ikkita tekislikka to'g'ri keladi n= <1,1, -c> va m= <1, -1,0>. Vektorli mahsulot m x n = <- c, -c, -2> bizga ikkita tekislikning kesishish chizig'i yo'nalishini beradi. Keyin P nuqtadan o'tib, giperbolik paraboloidga tegishli bo'lgan chiziqlardan biri parametrli tenglamaga ega:
= <0, 1, -1> + s = <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> va² - Y² (0, 1, -1) nuqtadan o'tib.
Tekshirish sifatida, $ t = 1 $, bu bizga birinchi satrda (1,2, -3) nuqtani beradi. Uning paraboloid z = x da ekanligini tekshirishingiz kerak² - Y²:
-3 = 1² – 2² = 1 – 4 = -3
Bu haqiqatan ham giperbolik paraboloid yuzasiga tegishli ekanligini tasdiqlaydi.