Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

5-misol. Ushbu funksiyaning x→0, y→0 holdagi takroriy limitlarini hisoblaymiz:
.
,
.
Demak, bu funksiya uchun ikkala takroriy limit mavjud, ammo ular o‘zaro teng emas.
Yuqoridagi misollardan ko‘rinadiki takroriy limitlar doimo o‘zaro teng bo‘lishi shart emas ekan. Bundan tashqari karrali va takroriy limitlar orasida qanday munosabat mavjudligini ham umumiy holda aytib bo‘lmaydi. Bunday hollarda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.
1-TEOREMA: Berilgan z=f(x,y) funksiya M₀(x₀,y₀) nuqtaning biror U_r(x₀,y₀) atrofida aniqlangan va karrali limit

mavjud bo‘lsin. Agar ixtiyoriy M(x,y) U_r(x₀,y₀) uchun

oddiy limitlar mavjud bo‘lsa, unda ikkala takroriy limit

mavjud va A₁= A₂= A tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Ammo takroriy limitlar mavjudligi va ularning o‘zaro tengligidan karrali limitning mavjudligi va A₁= A₂= A tenglik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqmaydi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan 2-misolda A₁= A₂=0, ammo karrali limit mavjud emas.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning limiti uchun bir o‘zgaruvchili funksiya limitining oldin ko‘rib o‘tilgan barcha xossalari (VII bob, §3, asosiy teorema) saqlanib qolishini ushbu teorema ko‘rsatadi.
2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) va z=g(x,y) funksiyalarning ikkalasi ham M₀(x₀,y₀) nuqtaning biror U_r(x₀,y₀) atrofida aniqlangan va ularning karrali limitlari

mavjud bo‘lsa, unda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi:


,
,
,

Bu teorema yuqorida eslatilgan teorema singari isbotlanadi va shu sababli uning ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.
Masalan, bu teorema asosida ushbu karrali limitlarni hisoblaymiz:


.
Ikki o‘zgaruvchili z= f(x,y) funksiyaning karrali limiti ta’rifini x→±∞ , y→±∞ yoki A=±∞ hollar uchun ham berish mumkin, ammo ular ustida to‘xtalib o‘tirmaymiz.