Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. Endi z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya M(x,y) nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi l to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror e={cosα, cosβ} birlik vektor orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan e birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=90⁰–α) burchaklar bilan aniqlanadi va yo‘naltiruvchi kosinuslar deb ataladi. Bu l to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va M(x,y) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(x+∆x,y+∆y) nuqtani qaraymiz. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi

ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi deyiladi. Bu yerda MN=∆l belgilash kiritamiz. Bunda N→M desak, ya’ni ∆x→0, ∆y→0 bo‘lsa, unda ∆l→0 bo‘ladi.
Ta'rif.Agar ∆l→0 bo‘lganda ∆_lf /∆l nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi.
z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi

kabi belgilanadi va , ta’rifga asosan,

kabi aniqlanadi. ∆l=∆xcosα+ ∆ycosβ tenglikdan foydalanib,
(4)
formula o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan, f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi α=60⁰ yo‘nalish bo‘yicha hosilasi

formula bilan hisoblanadi. Xususan, M(1,1) nuqtada bu hosilaning qiymati bo‘ladi.
Agar l yo‘nalish biror a={a₁, a₂} vektor orqali berilgan bo‘lsa, unda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila

formula bilan hisoblanadi.
Masalan, yuqoridagi funksiyaning M(1,1) nuqtadagi a={4,3} vektor bilan aniqlanadigan l yo‘nalishi bo‘yicha hosilasining qiymatini topamiz:

Agar l sifatida OX (yoki OY) koordinata o‘qining yo‘nalishini olsak , unda α=0, β=90⁰ (yoki α=90⁰, β=0) bo‘ladi va (4) formuladan

natijalarni olamiz. Demak, z=f(x,y) funksiyaning x yoki y bo‘yicha xususiy hosilalari uning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasining xususiy holi bo‘ladi.