Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

Agar bu yerda

.

desak, (1) ni matritsa ko`rinishda yozish mumkin:

AХ=V. (2)

Agar V=0 bo`lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo`lmagan sistema deyiladi. (1) sistemaning yechimi deb (2) ni ayniyatga aylantiradigan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ga aytiladi (Х yechimga mos keluvchi хÎRⁿ arifmetik vektorni ham (1) sistemaning yechimi deb ataladi).

Agar sistema kamida bitta yechimga ega bo`lsa, uni birgalikda deyiladi, aks holda birgalikda emas deyiladi.
Agar ikkita sistema yechimlari to`plami bir хil bo`lsa, ularni ekvivalent deyiladi.

1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari

Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo`lsin. Agar detA¹0 bo`lsa, u holda ma`lumki. Bunday matritsaga teskari A<sup>-1</sup> matritsa mavjud. A<sup>-1</sup> ni (2) ga chapdan qo`llasak:

Х= A^-1V (3)

tenglik hosil bo`ladi. (3) ning o`ng tomonidagi ko`paytirish amalini bajarib, hosil bo`ljan ustunlarning mos komponentalarini tenglab, (1) ning yagona yechimini hosil qilamiz. Sistemani yechishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi.

Yechimni yuqorida ko`rsatilgan usuli yordamida topaylik. U holda


(4)

hosil bo`ladi. Tengliklarni o`ng tomonidagi kasr suratidagi yig`indining determinantni biror yo`li bo`yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidagi

determinantlar ko`rinishida ifodalash mumkin.

Agar D=detA deb belgilasak, (4) tengliklarni

ko`rinishda yozib olsa bo`ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi.

Misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching:

Yechish: Sistemaning

matritsasi maхsus emas, chunki detA=-2¹0. Biriktirilgan matritsasi

ko`rinishga ega. U holda teskari matritsa

bo`ladi va niхoyat,

.

Bundan, х₁=2, х₂=-1, х₃=1 ekanligini hosil qilamiz.

Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Demak, ekan.

Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni D=det¹0 bo`lsa, u holda bunday sistema yagona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) yechimja ega bo`ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`ljani uchun D<sub>i</sub>, i=1,2,¼,n determinantlar nolga teng bo`ladi, Kramer formulalariga asosan esa х₁=0, х₂=0,¼х_n=0 ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga teng bo`lmagan, x=(x₁,¼,x_n) yechimga ega bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (D=0).

Iхtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasinig yechish.

Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidagi matritsa

kengaytirilgan matritsa deb ataladi.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va yetarlidir.
Zarurligi: Faraz qilaylik, (1) sistema birgalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`lgani uchun A matritsaga`A matritsaga ham tegishli bo`lgan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³ k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanligini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmagan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenglamalarini va no`malumlarning joyini almashtirib shu holga olib kelsa bo`ladi. SHartga ko`ra (1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x₁,¼,x_n) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenglamasini ham qanoatlantiradi. U holda

(4.5)

bu erda

(4.6)

(5) asosida quyidaji

(7)

sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birgalikda, chunki uni noldan farqli y=(x₁,¼,x_k,1) echim qanoatlantiradi. U holda bir jinsli (7) sistemaning determinanti nolga teng, ya`ni

chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.

Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birgalikda ekanligini isbot qilish kerak. Qilingan farazga ko`ra, sistemaning shunday k ta tenglamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinganidek, umumiylikni buzmagan holda bu aynan
(8)
tenglamalar deb faraz qilish mumkin. SHartga ko`ra, uning uchun

(8) sistemani quyidagicha yozib olamiz:

(9)

s¹0 bo`ljani uchun bu sistema yagona yechimga ega va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:

bu yerda A_si, i=1,2,¼,k, a_si elementining s determinantdagi algebraik to`ldiruvchisidir. x<sub>k+1</sub>,¼,x<sub>n</sub> larga har хil qiymatlar berish mumkin, x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan.

Endi bu yechimlar (1) sistemaning (9) ja kirmagan tenglamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) yechimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham yechimi ekanligini ko`rsatish kifoya.
(1) sistemaning avvalgi k+1 ta tenglamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenglamasini yechimi bo`lsin. Хuddi yuqoridagidek, (7) tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga teng. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmagan y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k+1</sub> yechimga ega. Bu erda y<sub>k+1</sub>¹0, chunki, aks holda (7) sistema y<sub>1</sub>,¼,y<sub>k</sub>,0 yechimga ega bo`ladi, bundan y₁=0,¼,y_k=0 ekanligi kelib chiqadi, chunki s¹0, ya`ni (7) trivial y<sub>1</sub>=y<sub>2</sub>=¼=y<sub>k+1</sub>=0 yechimga ega bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun

sonlar ham bu sistemaning yechimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenglamalarining yechimi bo`ladi. Bizga ma`lumki, bu sistema yagona x<sub>1</sub>,¼,x<sub>k</sub> yechimga ega edi. s¹0 bo`lgani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenglamasiga qo`ysak, tenglik bajarilishiga ishonch hosil qilamiz. Demak, x₁,¼,x_k lar (5) ning k+1-tenglamasini qanoatlantiradi va (6) ga asosan х=(x₁,¼,x_n) (4.1) ning k+1-tenglamasini yechimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi.

Eslatma: agar x_k+1=c₁,¼,x_n=c_n-k desak, barcha x₁,¼,x_k lar c₁,¼,c_n-k larga bog`liq bo`lib qoladi. (x₁(c₁,¼,c_n-k),¼,x_k (c₁,¼,c_n-k),c₁,¼,c_n-k)^T ustun (1) ning umumiy yechimi deb ataladi.
Misol. Quyidaji sistemani yeching:

Yechish:
=0

Shuning uchun

matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kengaytirilgan

matritsa uchun , chunki shu matritsaning

ya`ni bo`lyapti. Yuqoridagi teoremaga asosan, bu sistema yechimga ega emas deyish mumkin.
Misol. Sistemani yeching:

Yechish: Uning determinanti

Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Berilgan sistemani birinchi va ikkinchi tenglamalaridan

sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida

ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun

shu sababli, u yagona yechimga ega:

Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik berilgan sistemaning yechimi bo`ladi.

Agar u=S desak, (1-S, S, 0)^T ustun berilgan sistemaning umumiy yechimi bo`ladi.
2. Bir jinsli sistemalar.

Quyidagi

(11)

bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 yechimi bor. Uning trivial bo`lmagan yechimi mavjud bo`lishi uchun r(A)=r bo`lishi zarur va yetarlidir.

Faraz qilaylik, QÌRⁿ–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha yechimlari to`plami bo`lsin. Bu to`plamdagi har qanday bazis n-r ta e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,¼,e<sub>n-r</sub> chiziqli bog`liq bo`lmagan vektorlardan tuzilgandir. Kanonik bazisda unga mos keluvchi E₁,E₂,¼,E_n-r vektorlar sistemasi fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi. Uning yechimi quyidagicha: