Biologik modellar. Yirtqich-o‘lja tizimi o‘zaro munosabati modeli

dN / dt = r 1 N 1
Bu erda N - son, r - jabrlanuvchi populyatsiyasining o'ziga xos bir lahzali o'sish sur'ati. Agar yirtqichlar mavjud bo'lsa, ular yirtqichlarning individuallarini, birinchidan, yirtqichlar va o'ljalarning uchrashish chastotasi bilan belgilanadigan tezlikda yo'q qiladilar, bu ularning soni ko'payishi bilan ortadi, ikkinchidan, yirtqichning aniqlagan samaradorligi bilan belgilanadi. va uchrashganda o'ljasini ushlaydi. Bitta yirtqich N c tomonidan uchrashgan va egan o'lja soni ovning samaradorligiga mutanosib bo'lib, biz uni C 1 koeffitsienti orqali ifodalaymiz; jabrlanuvchi N ning soni (zichligi) va qidiruvga sarflangan vaqt T:
N C = C 1 NT(1)
Ushbu iboradan yirtqichning o'lja iste'mol qilishning o'ziga xos tezligini aniqlash oson (ya'ni, vaqt birligida bitta yirtqich tomonidan iste'mol qilingan o'lja soni), bu ko'pincha yirtqichning o'lja populyatsiyasining zichligiga funktsional reaktsiyasi deb ataladi. :

Ko'rib chiqilayotgan modelda C 1 doimiydir. Bu shuni anglatadiki, yirtqichlar tomonidan populyatsiyadan olingan o'ljalar soni uning zichligi oshishi bilan chiziqli ravishda oshadi (1-toifa funktsional javob deb ataladi). Yirtqichning barcha shaxslari tomonidan yirtqichlarning umumiy iste'mol qilish darajasi quyidagicha bo'lishi aniq:

(3)
qayerda R - yirtqichlar populyatsiyasining kattaligi. Endi o'lja populyatsiyasining o'sish tenglamasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
O'lja bo'lmasa, yirtqichlarning odamlari och qoladi va o'ladi. Aytaylik, bu holda yirtqichlar populyatsiyasining hajmi tenglamaga muvofiq eksponent ravishda kamayadi:
(5)
qayerda r 2- yirtqichlar populyatsiyasidagi o'ziga xos lahzali o'lim.
Agar qurbonlar mavjud bo'lsa, ularni topib eyishi mumkin bo'lgan yirtqichlar ko'payadi. Ushbu modeldagi yirtqichlar populyatsiyasining unumdorligi faqat ikkita omilga bog'liq: yirtqichning o'ljani iste'mol qilish tezligi va iste'mol qilingan oziq-ovqatni yirtqichning avlodlariga qayta ishlash samaradorligi. Agar biz ushbu samaradorlikni s koeffitsienti bilan ifodalasak, tug'ilish darajasi quyidagicha bo'ladi:

C 1 va s doimiy bo'lganligi sababli, ularning mahsuloti ham doimiy bo'lib, biz uni C 2 deb belgilaymiz. Keyin yirtqichlar populyatsiyasining o'sish sur'ati tenglamaga muvofiq tug'ilish va o'lim nisbati bilan aniqlanadi:
(6)
4 va 6 tenglamalar birgalikda Lotka-Volterra modelini tashkil qiladi.
Biz ushbu modelning xususiyatlarini raqobat holatida bo'lgani kabi tekshirishimiz mumkin, ya'ni. faza diagrammasini qurish orqali, bunda yirtqichlar soni ordinata bo‘ylab, yirtqichniki esa abtsissa bo‘ylab chiziladi va unga doimiy populyatsiya soniga mos keladigan izoklin chiziqlari chiziladi. Bunday izoklinlar yordamida yirtqich va yirtqichlarning o'zaro ta'sir qiluvchi populyatsiyalarining xatti-harakati aniqlanadi.
Jabrlanuvchi aholi uchun: qayerdan
Shunday qilib, r va S 1 konstantalar bo'lganligi sababli, o'lja uchun izoklin yirtqichning soni bo'lgan chiziq bo'ladi. (R) doimiy, ya'ni. abscissaga parallel va ordinatani nuqtada kesishadi P = r 1 / 1 dan. Bu chiziqdan yuqorida qurbonlar soni kamayadi, undan pastroqda esa ko'payadi.
Yirtqichlar populyatsiyasi uchun:
qayerdan
Shu darajada r 2 va S 2 doimiydir, yirtqich uchun izoklin o'lja soni (N) doimiy bo'lgan chiziq bo'ladi, ya'ni. ordinataga perpendikulyar va abscissani N = r 2 / C 2 nuqtada kesib o'tadi. Uning chap tomonida yirtqichning soni kamayadi, o'ngda esa ko'payadi.
Agar biz ushbu ikkita izoklinni birgalikda ko'rib chiqsak, yirtqichlar va yirtqichlar populyatsiyalarining o'zaro ta'siri tsiklik ekanligini osongina payqashimiz mumkin, chunki ularning soni cheksiz konjugat tebranishlarini boshdan kechiradi. Yirtqichlar soni ko'p bo'lsa, yirtqichlar soni ko'payadi, bu esa o'lja populyatsiyasiga yirtqichlik bosimining oshishiga va shu bilan uning sonining kamayishiga olib keladi. Bu kamayish, o'z navbatida, yirtqichlar uchun oziq-ovqat tanqisligiga va ularning sonining kamayishiga olib keladi, bu esa yirtqichlar bosimining zaiflashishiga va o'lja sonining ko'payishiga olib keladi, bu esa yana o'lja populyatsiyasining ko'payishiga olib keladi. va boshqalar.
Ushbu model "neytral barqarorlik" deb ataladigan xususiyat bilan tavsiflanadi, ya'ni populyatsiyalar bir xil tebranishlar tsiklini cheksiz vaqt davomida ba'zi tashqi ta'sirlar o'z sonlarini o'zgartirmaguncha amalga oshiradilar, shundan so'ng populyatsiyalar turli parametrlarga ega tebranishlarning yangi tsiklini amalga oshiradilar. ... Tsikllar barqaror bo'lishi uchun populyatsiyalar tashqi ta'sirdan keyin bo'lishi kerak asl tsiklga qaytishga intiling. Lotka-Volterra modelidagi neytral barqaror tebranishlardan farqli o'laroq, bunday tsikllar odatda deyiladi. barqaror chegara davrlari.
Ammo Lotka-Volterra modeli foydalidir, chunki u yirtqich va o'lja munosabatlaridagi asosiy tendentsiyani, ularning populyatsiyalari hajmidagi tsiklik konjugat tebranishlarini ko'rsatishga imkon beradi.
Populyatsiya dinamikasi matematik modellashtirishning bo'limlaridan biridir. Qizig'i shundaki, u biologiya, ekologiya, demografiya, iqtisodiyotda o'ziga xos ilovalarga ega. Ushbu bo'limda bir nechta asosiy modellar mavjud, ulardan biri Predator-Prey modeli ushbu maqolada muhokama qilinadi.
Matematik ekologiyada modelning birinchi namunasi V.Volterra tomonidan taklif qilingan model edi. Yirtqich va o'lja o'rtasidagi munosabatlar modelini birinchi bo'lib u ko'rib chiqdi.
Muammo bayonotini ko'rib chiqing. Ikki xil hayvonlar bo'lsin, ulardan biri ikkinchisini yutadi (yirtqichlar va o'lja). Bunday holda, quyidagi taxminlar qabul qilinadi: o'ljaning oziq-ovqat resurslari cheklanmagan va shuning uchun yirtqich bo'lmaganda, o'lja populyatsiyasi eksponent ravishda o'sib boradi, yirtqichlar esa o'z o'ljasidan ajralib, asta-sekin ochlikdan nobud bo'ladi. eksponensial qonunga ko'ra xuddi shunday. Yirtqichlar va yirtqichlar bir-biriga yaqin yashashni boshlashlari bilanoq, ularning populyatsiyalari sonining o'zgarishi o'zaro bog'liq bo'ladi. Bunday holda, aniqki, o'lja sonining nisbiy ko'payishi yirtqichlar populyatsiyasining hajmiga bog'liq bo'ladi va aksincha.
Ushbu modelda barcha yirtqichlar (va barcha o'ljalar) bir xil sharoitda ekanligi taxmin qilinadi. Shu bilan birga, qurbonlarning oziq-ovqat resurslari cheksizdir va yirtqichlar faqat qurbonlar bilan oziqlanadi. Ikkala populyatsiya ham cheklangan hududda yashaydi va boshqa populyatsiyalar bilan o'zaro ta'sir qilmaydi va aholi soniga ta'sir qiladigan boshqa omillar yo'q.
"Yirtqich - o'lja" matematik modeli bir juft differensial tenglamalardan iborat bo'lib, ular yirtqichlar va o'ljalar populyatsiyalarining dinamikasini eng oddiy holatda, yirtqichlarning bir populyatsiyasi va yirtqichlarning bir populyatsiyasi mavjud bo'lganda tavsiflaydi. Model ikkala populyatsiyaning kattaligidagi tebranishlar bilan tavsiflanadi, yirtqichlar sonining cho'qqisi yirtqichlar sonidagi cho'qqidan biroz orqada qoladi. Bu modelni populyatsiyalar dinamikasi yoki matematik modellashtirish bo'yicha ko'plab ishlarda topish mumkin. U keng yoritilgan va matematik usullar bilan tahlil qilingan. Biroq, formulalar har doim ham nima bo'layotgani haqida aniq tasavvurga ega bo'lmasligi mumkin.
Ushbu modelda populyatsiyalar dinamikasi boshlang'ich parametrlarga qanchalik aniq bog'liqligini va uning haqiqatga va sog'lom fikrga qanchalik mos kelishini aniqlash va uni murakkab hisob-kitoblarga murojaat qilmasdan grafik tarzda ko'rish qiziq. Shu maqsadda Volterra modeli asosida Mathcad14 muhitida dastur yaratildi.
Birinchidan, modelning haqiqiy sharoitlarga muvofiqligini tekshiramiz. Buning uchun populyatsiyalardan faqat bittasi berilgan sharoitda yashasa, degeneratsiya holatlarini ko'rib chiqing. Nazariy jihatdan, yirtqichlar yo'q bo'lganda, o'lja populyatsiyasi vaqt o'tishi bilan cheksiz o'sib borishi va yirtqichlar populyatsiyasi o'lja yo'qligida nobud bo'lishi ko'rsatildi, bu odatda modelga va real vaziyatga mos keladi (muammoning belgilangan formulasi bilan). ).
Olingan natijalar nazariy jihatdan aks ettirilgan: yirtqichlar asta-sekin nobud bo'lmoqda (1-rasm), o'lja soni esa cheksiz ravishda ko'paymoqda (2-rasm).
1-rasm O'lja bo'lmaganda yirtqichlar sonining vaqtga bog'liqligi

2-rasm. Yirtqichlar yo'qligida qurbonlar sonining o'z vaqtida bog'liqligi
Ko'rib turganingizdek, bu holatlarda tizim matematik modelga mos keladi.
Keling, tizim turli xil boshlang'ich parametrlar bilan qanday harakat qilishini ko'rib chiqaylik. Ikki populyatsiya bo'lsin - sherlar va antilopalar - mos ravishda yirtqichlar va o'ljalar va dastlabki ko'rsatkichlar berilgan. Keyin biz quyidagi natijalarni olamiz (3-rasm):
Jadval 1. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari

3-rasm 1-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Keling, olingan ma'lumotlarni grafiklar asosida tahlil qilaylik. Antilopa populyatsiyasining dastlabki ko'payishi bilan yirtqichlar sonining ko'payishi kuzatiladi. E'tibor bering, yirtqichlar populyatsiyasining ko'payishining eng yuqori cho'qqisi keyinroq, o'lja populyatsiyasining kamayishi bilan kuzatiladi, bu haqiqiy g'oyalar va matematik modelga juda mos keladi. Darhaqiqat, antilopalar sonining ko'payishi sherlar uchun oziq-ovqat resurslarining ko'payishini anglatadi, bu ularning sonining ko'payishiga olib keladi. Bundan tashqari, antilopalarning sherlar tomonidan faol ovqatlanishi o'lja sonining tez kamayishiga olib keladi, bu yirtqichning ishtahasi, aniqrog'i, yirtqichlarning o'ljani iste'mol qilish chastotasini hisobga olgan holda ajablanarli emas. Yirtqichlar sonining asta-sekin kamayishi o'lja populyatsiyasining o'sishi uchun qulay sharoitlarda bo'lgan vaziyatga olib keladi. Keyin vaziyat ma'lum bir davr bilan takrorlanadi. Xulosa qilamizki, bu sharoitlar individlarning uyg'un rivojlanishi uchun mos emas, chunki ular o'lja populyatsiyasining keskin kamayishiga va ikkala populyatsiyaning keskin ko'payishiga olib keladi.
Keling, qolgan parametrlarni saqlab qolgan holda, yirtqichning boshlang'ich sonini 200 kishiga tenglashtiramiz (4-rasm).
Jadval 2. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari

4-rasm 2-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Tizim endi tabiiyroq tebranadi. Ushbu taxminlarga ko'ra, tizim juda uyg'un tarzda mavjud bo'lib, ikkala populyatsiyada ham sonlar sonining keskin o'sishi va kamayishi kuzatilmaydi. Xulosa qilamizki, ushbu parametrlar bilan ikkala populyatsiya ham bir xil hududda birga yashash uchun teng darajada rivojlanadi.
Yirtqichning boshlang'ich sonini 100 ta individga, o'lja sonini 200 taga, qolgan parametrlarni saqlab qolgan holda belgilaymiz (5-rasm).
Jadval 3. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari

5-rasm 3-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Bunday holda, vaziyat birinchi ko'rib chiqilgan vaziyatga yaqin. E'tibor bering, populyatsiyalarning o'zaro ko'payishi bilan o'lja populyatsiyasining ko'payishidan kamayishiga o'tish yumshoqroq bo'ldi va yirtqichlar populyatsiyasi yuqori sonli qiymatda o'lja yo'qligida qoladi. Biz bir populyatsiyaning boshqa populyatsiyaga yaqin nisbati bilan, agar populyatsiyaning o'ziga xos dastlabki hajmi etarlicha katta bo'lsa, ularning o'zaro ta'siri yanada uyg'unroq bo'ladi degan xulosaga keldik.
Keling, tizimning boshqa parametrlarini o'zgartirishni ko'rib chiqaylik. Dastlabki raqamlar ikkinchi holatga mos kelsin. Keling, qurbonlarning reproduktiv darajasini oshiraylik (6-rasm).
Jadval 4. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari


6-rasm 4-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Keling, ushbu natijani ikkinchi holatda olingan natija bilan taqqoslaylik. Bunday holda, jabrlanuvchining tezroq o'sishi kuzatiladi. Bunday holda, yirtqich ham, o'lja ham birinchi holatda bo'lgani kabi o'zini tutadi, bu populyatsiyalar sonining kamligi bilan izohlanadi. Ushbu o'zaro ta'sir bilan ikkala populyatsiya ham ikkinchi holatga qaraganda ancha yuqori qiymatlarga ega.
Keling, yirtqichlarning o'sish tezligini oshiramiz (7-rasm).
Jadval 5. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari


7-rasm 5-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Keling, natijalarni shunga o'xshash tarzda taqqoslaylik. Bunday holda, tizimning umumiy xarakteristikasi, davrdagi o'zgarishlardan tashqari, bir xil bo'lib qoladi. Kutilganidek, davr qisqardi, bu o'lja yo'qligida yirtqichlar populyatsiyasining tez kamayishi bilan izohlanadi.
Va nihoyat, turlararo o'zaro ta'sir koeffitsientini o'zgartiramiz. Birinchidan, yirtqichlarning o'ljani iste'mol qilish chastotasini oshiraylik:
Jadval 6. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari


8-rasm 6-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Yirtqich o'z o'ljasini tez-tez iste'mol qilganligi sababli, uning populyatsiyasining maksimal soni ikkinchi holatga nisbatan oshdi va populyatsiya sonining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq ham kamaydi. Tizimning tebranish davri bir xil bo'lib qoladi.
Keling, yirtqichlarning o'ljani iste'mol qilish chastotasini kamaytiraylik:
Jadval 7. Tizimning tebranish rejimining koeffitsientlari

9-rasm 7-jadvaldagi parametr qiymatlari bilan tizim
Endi yirtqich o'ljani kamroq iste'mol qiladi, uning populyatsiyasining maksimal soni ikkinchi holatga nisbatan kamaydi va o'lja populyatsiyasining maksimal soni, bundan tashqari, 10 barobar oshdi. Bundan kelib chiqadiki, berilgan sharoitda o'lja populyatsiyasi ko'payish nuqtai nazaridan katta erkinlikka ega, chunki yirtqichning o'zini oziqlantirish uchun kamroq massasi bor. Populyatsiya sonining maksimal va minimal qiymatlari o'rtasidagi farq ham kamaydi.
Tabiat yoki jamiyatdagi murakkab jarayonlarni u yoki bu tarzda taqlid qilishga urinayotganda, modelning to'g'riligi haqida savol tug'iladi. Tabiiyki, modellashtirishda jarayonni soddalashtirish, ba'zi mayda tafsilotlarni e'tiborsiz qoldirish mavjud. Boshqa tomondan, modelni haddan tashqari soddalashtirish, hodisaning muhim xususiyatlarini ahamiyatsizlari bilan birga qoldirib ketish xavfi mavjud. Bunday vaziyatga yo'l qo'ymaslik uchun, modellashtirishdan oldin, ushbu model qo'llaniladigan mavzuni o'rganish, uning barcha xususiyatlari va parametrlarini o'rganish, eng muhimi, eng muhim bo'lgan xususiyatlarni ajratib ko'rsatish kerak. Jarayon tabiiy tavsifga ega bo'lishi kerak, intuitiv ravishda tushunarli, asosiy nuqtalarda nazariy modelga to'g'ri keladi.
Ushbu ishda ko'rib chiqilgan model bir qator muhim kamchiliklarga ega. Masalan, jabrlanuvchi uchun cheksiz resurslarni taxmin qilish, ikkala turdagi o'limga ta'sir qiluvchi tashqi omillarning yo'qligi va boshqalar. Bu taxminlarning barchasi haqiqiy vaziyatni aks ettirmaydi. Biroq, barcha kamchiliklarga qaramay, model ko'plab sohalarda, hatto ekologiyadan uzoqda ham keng tarqaldi. Buni "yirtqich-o'lja" tizimi turlarning o'zaro ta'siri haqida umumiy tasavvurni berishi bilan izohlash mumkin. Atrof-muhit va boshqa omillar bilan o'zaro ta'sir boshqa modellar bilan tavsiflanishi va birgalikda tahlil qilinishi mumkin.
"Yirtqich-o'lja" tipidagi munosabatlar hayotning har xil turlarining muhim xususiyati bo'lib, unda o'zaro ta'sir qiluvchi ikki tomonning to'qnashuvi mavjud. Bu model nafaqat ekologiyada, balki iqtisodiyot, siyosat va boshqa faoliyat sohalarida ham mavjud. Masalan, iqtisodiyot bilan bog‘liq bo‘lgan yo‘nalishlardan biri bu mavjud salohiyatli ishchilar va bo‘sh ish o‘rinlarini hisobga olgan holda mehnat bozorini tahlil qilishdir. Bu mavzu yirtqich-o'lja modelining qiziqarli davomi bo'ladi.