Binar operatsiyalarining ba’zi elementlari. Neytral element

Simmetrik element.
Ratsional sonlar to‘plamida quyidagi tengliklar o‘rinli:


Birinchi tenglikda ayirish amali qo‘shish amali bilan, b soni esa, unga qarama-qarshi (-b) soniga, ikkinchi tenglikda bo‘lish amali ko‘paytirish amali bilan, b soni esa unga teskari bo‘lgan  soni bilan almashtiriladi.
Qarama-qarshi, teskari sonlar simmetrik elementning xususiy hollaridir.
Aytaylik, A to‘plam va * algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin, e element A to‘plamining neytral elementi bo‘lsin.
12-ta’rif. Agar  aA uchun a*a ̃=a ̃*a=e tenglik o‘rinli bo‘lsa, a ̃ element a element uchun simmetrik element deyiladi.
Teorema. A da berilgan * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa, * operatsiyasiga nisbatan A ning har bir elementiga faqat bitta simmetrik element mos keladi.
Isbot. Aytaylik, A to‘plamda a elementga ikkita  va  elementlar simmetrik bo‘lsin.
U holda ta’rifga asosan   
* operatsiyasi assotsiativ bo‘lganidan
 e* .
Bundan ko‘rinadiki, * operatsiyasiga nisbatan A to‘plamning har bir elementi faqat bitta simmetrik elementga ega bo‘ladi.
Shunday to‘plamlar mavjudki, ularning har bir elementiga bitta ham simmetrik element mos kelmaydi.
Masalan, nomanfiy butun sonlar to‘plamida qo‘shish amaliga nisbatan aA₀ ga simmetrik element (-a) mavjud emas, -aA₀.
Ko‘paytirish amaliga nisbatan simmetrik element teskari element, qo‘shish amaliga nisbatan esa simmetrik element qarama-qarshi element deyiladi.
Ma’lumki, ratsional sonlar to‘plamida a ga teskari  (a≠0);  ga teskari  ; a ga qarama-qarshi (-a); (-a)ga qarama-qarshi -(-a)=a, ya’ni  =a o‘rinli bo‘ladi.
Teorema. Agar to‘plamda berilgan * algebraik operatsiya assotsiativ hamda to‘plamning ixtiyoriy b va c elementlari  va  simmetrik elementga ega bo‘lsa, ( )= tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Teoremaning isboti talabalarga havola qilinadi.
Teoremaga asosan, b=5; c=7 bo‘lsa, (5+7)=12;  =-12; ((5+7)=-12) ̃; 5 ̃+7 ̃=-5+(-7)=-12  tenglik bajariladi.

2. 
   Qoldiqli boʻlish.
   

2 – topshiriq. Test