Bernulli sxemasini umumiylashtirish polinomial formula

Bog‘liq bo‘lmagan n ta tajribada ro‘y berish ehtimollari har xil bo‘lgan hodisa uchun Bernulli sxemasining umumlashmasi.
Bog‘iq bo‘lmagan n ta tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lib, har bir tajribada kuzatilayotgan A hodisaning ro‘y berish ehtimoli turlicha bo‘lsin. Masalan, i-tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli va ro‘y bermaslik ehtimoli , ya’ni hodisaning ehtimoli tajribaning nomeriga bog‘liq bo‘lsin. Bu shartlarda A hodisaning n ta tajribada m marta ro‘y berish ehtimoli ni topish kerak bo‘lsin. Bog‘liq bo‘lmagan ketma-ket n ta tajriba o‘tkazilganda A hodisaning m marta ro‘y berish hodisasini orqali belgilaylik. Bundan tashqari, i-tajribada A hodisaning ro‘y berishini va ro‘y bermasligini orqali belgilaylik. hodisani ushbu shaklda yozib olamiz:
(1)
bu yig‘indining har bir qo‘shiluvchisida A hodisa turli indekslar bilan m marta, hodisa esa turli indekslar bilan n-m marta qatnashgan bo‘lib, o‘ng tomonda turgan hamma qo‘shiluvchilar soni ga teng.
(1) tenglikning o‘ng tomonida turgan hodisalarning ixtiyoriy jufti bir vaqtda ro‘y bermaydigan hodisalarning yig‘indisidan iboratligini va tajribalar ketma-ketligi bog‘liq emasligini e’tiborga olsak, qo‘shish teoremasiga ko‘ra:
(2)
(2) formulaning o‘ng tomomida ifodani topish maqsadida quyidagi n ta ikki hadning ko‘paytmasini tekshiramiz:
. (3)
Bu yerda z – ixtiyoriy parametrdir. (3) ning o‘ng tomonidagi binomlarni o‘zaro ko‘paytirib, ni qavsdan tashqariga chiqarilsa, ning oldidagi koeffitsient (2) formulaning o‘ng tomonidagi yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Shuning uchun (3) ni quyidagicha yozish mumkin:
(4)
funksiyani ehtimollarni hosil qiluvchi funksiya deyiladi.
Hosil qiluvchi funksiya tushunchasidan foydalangan holda quyidagi natijani keltirib chiqarish mumkin: bog‘liq bo‘lmagan ketma-ket n ta tajribada A hodisaning m marta ro‘y berish ehtimoli

hosil qiluvchi funksiyaning qatnashgan hadining koeffitsientiga teng bo‘ladi.
Agar

bo‘lsa, u holda Bernulli sxemasi hosil bo‘lib, uning hosil qiluvchi funksiyasi

ko‘rinishda bo‘ladi. O‘ng tomondagi ikkihadni Nyuton binomi formulasi bo‘yicha yoyib,

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerda .
Misol. Turli masofada turib bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan holda nishonga qarata 4 marta o‘q otildi. Har bir otilgan o‘qning nishinga tegish ehtimoli mos ravishda bo‘lsa, otilgan 4 ta o‘qdan birortasining ham nishonga tegmaslik, bittasini, ikkitasini, uchtasini va to‘rttasini nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechish. Masalada so‘ralayotgan , k= 0, 1, 2, 3, 4 larni topishga kirishamiz. Shu maqsadda ehtimollarning hosil qiluvchi funksiyasini tuzib olamiz:
.
va , i=1, 2, 3, 4 larning o‘rniga son qiymatlarni qo‘ysak:
;

ko‘phadni hosil qilamiz. Ta’rifga asosan

bo‘lgani uchun

bo‘ladi.
Endi biz Bernulli sxemasining umumlashmasi deb qarash mumkin bo‘lgan yana bir masalani ko‘ramiz.
Biz yuqorida ma’lum bir belgiga ega bo‘lgan yoki ega bo‘lmagan buyumlar to‘plamidan bitta buyumni ajtatish haqidagi masalani qarab chiqdik. Bu holda o‘sha belgiga ega bo‘lgan buyumni ajratish ehtimoli shu belgiga ega bo‘lgan hamma buyumlarning jami buyumlar soniga nisbatiga teng bo‘lar edi.
Agar bir necha buyum olinayotgan, masalan, yashikdan bir necha shar, kartalar dastasidan bir nechta karta olinayotgan bo‘lsa, u holda ikki xil masala qo‘yish mumkin. Ulardan biri shundan iboratki, bunda buyum bittalab olinadi va har safar olingan buyum olingan joyiga qaytarib qo‘yilgach, keyingisi olinadi. Bu holda har bir olishda belgiga ega bo‘lgan yoki bo‘lmagan buyumni olish ehtimoli o‘zgarmaydi, chunki bu masalani Bernulli sxemasi bilan bir xil bo‘lgan erkli sinovlarni takrorlash haqidagi umumiy masala deb qarash mumkin.
Agar buyumlar bir vaqtda olinsa va bittalab olinsa-yu, lekin keyingi buyumni olishda avvalgi olingan buyum qayta joyiga qo‘yilmasa, u holda bu ish boshqacha bo‘ladi. Bunday sxema Bernulli sxemasi bilan bir xil bo‘lmaydi, chunki belgiga ega bo‘lgan buyumni olish ehtimoli har bir sinovlarning natijalariga bog‘liq bo‘ladi.
Bunday masalani quyidagicha ta’riflash mumkin: N ta buyum to‘plami mavjud bo‘lib, ulardan M tasi A xossaga ega. To‘plamdan n ta buyum olinadi, bunda olingan har bir buyum joyiga qaytarib qo‘yilmaydi. Olingan buyumlardan rosa m tasi A xossaga ega bo‘lish ehtimolini topish talab qilinsin.
Bunday qo‘yilgan masalani yechish uchun ushbu formuladan foydalansak bo‘ladi:
. (6)
Mosliklarni ularga mos faktoriallar bilan almashtirsak,
₍₇₎
formula kelib chiqadi.

Misol. 36 ta karta dastasidan birin ketin 4 ta karta olindi. Olingan kartalar orasida ko‘pi bilan bitta tuz bo‘lish ehtimoli qancha?

Yechish. Yuqorida aytilganlarga ko‘ra masala aniq qo‘yilmaganligi va uning yetarlicha aniqlik kiritilishiga bog‘liq ravishda ikkita yechimi borligini tushunish qiyin emas. Shu sababli masala shartida olingan kartaning dastaga qaytarib qo‘yilishi yoki qo‘yilmasligi aytilgan bo‘lishi lozim. Ana shu ikkala holni qarab chiqamiz.

1. 
   Aytaylik, kartalar bittalab olinib, olingan har bir karta keyingi kartani olishdan oldin dastaga qaytarib qo‘yiladi. Bu holda binomial formuladan foydalanishimiz. Bitta sinovda tuz olish ehtimoli bo‘ladi. To‘rtta sinov o‘tkazilgan bo‘lib, bizni qiziqtirayotgan hodisa olingan 4 ta karta orasida 0 ta yoki 1 ta tuz bo‘lishidan iborat. Izlanayotgan ehtimolni binomial formula yordamida topamiz:
   

2. 
   endi olingan kartalar dastaga qaytarilmaydi, yoki boshqacha aytganda, ular birdaniga olinadi deb faraz qilaylik. Bu holda Bernulli formulasidan foydalana olmaymiz. Bu masalani yechish uchun esa (6) formuladan foydalanamiz. Bu yerda N=36, M=2, n=4. m ga kelsak, m=0 va m=1 ehtimollarni qo‘shishimiz kerak. (6) formulaga ko‘ra
   

ni hosil qilamiz. Bu yerdagi mosliklarning qiymatlarini qo‘yib, quyidagilarni hosil qilamiz:

Qarab chiqilgan bu misoldan ko‘rinadiki, qaytariladigan va qaytarilmaydigan tanlamalarning ehtimollari juda oz bo‘lsa-da, bir-biridan farq qiladi. Bu farq tanlama hajmiga bog‘liq deb taxmin qilish tabiiy, N qancha katta yoki tanlama hajmining berilgan to‘plam hajmiga nisbati n:N qancha kichik bo‘lsa, binomial formula bo‘yicha hisoblangan ehtimol qaytarilmaydigan tenlamaning ehtimoliga shuncha yaqin bo‘lishi lozim.
Bu tahminning to‘g‘riligiga quyidagi mulohaza bilan ishonch hosil qilish oson. (7) formulani quyidagicha yozib olamiz:

Bu yerda ikkinchi kasrning surat maxrajidagi ko‘paytuvchilar soni bir xil. Kasrning surat maxrajidagi har bir ko‘paytuvchini bir xil N songa bo‘lib va nisbatni p orqali belgilab, quyidagi munosabatni hosil qilamiz:
(8)
Endi agar to‘plamning hajmi N shunday ortbib borsaki, bunda A xossaga ega bo‘lgan elementlar ulushi, ya’ni nisbat o‘zgarmasa, u holda (8) formuladan ko‘rinadiki, ning limiti

bo‘ladi.
Shunday qilib, cheksiz katta to‘plam uchun qaytariladigan va qaytarilmaydigan tanlama ajratishning farqi bo‘lmas ekan.
Quyidagi teorema tasdig‘i Bernulli sxemasi bо‘yicha ta tajribada muvaffaqiyatlar sonining toq sonda bо‘lishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi.
Teorema 1.1. Ushbu , ehtimollik uchun ushbu

formula о‘rinli.
Isbot. ehtimollikning ta’rifiga kо‘ra, deyarli ravshanki,
. (1.6)
Nyuton binomi formulasiga kо‘ra
(1.7)
Ikkinchi tomondan (1.5) tenglikni ushbu
(1.8)
shaklda yozib olish mumkin. Yuqorida hosil qilingan (1.7) tenglikni ga kо‘paytirib, (1.8) tenglikka hadlab qо‘shsak,
.
Oxirgi tenglikda (1.6) formulani hisobga olsak, ushbu

formulani hosil qilamiz.
Teorema isbot bо‘ldi.
Bernulli formulasining sodda kо‘rinishiga qaramasdan yetarlicha katta lar da undan foydalanish bir muncha noqulayliklarni vujudga keltiradi. Bunday holga, ayniqsa, tayinlangan yetarlicha katta va larda hisoblash jarayonida emas, balki aniq ekstremal masalalarda duch kelamiz. Shu munosabat bilan muayyan shartlar bajarilganda ni hisoblashda taqribiy hisoblash usullari keng qо‘llaniladi.