Bernulli sxemasini umumiylashtirish polinomial formula

Bog‘liq tajribalar ketma-ketligi Markov zanjiri
Endi bog‘langan tajribalarning eng sodda holi Markov zanjirlarini qarab chiqamiz. Markov zanjiri Bernulli sxemasining umumlashgan holiga nisbatan umumiyroq bo‘lgan bog‘liq sinovlar sxemasini aks ettiradi. U birinchi marta rus matematigi A.A.Markov tomonidan o‘rganilgan. Faraz qilamiz tajribalar ketma-ketligi o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Aytaylik, har bir sinov natijasida birgalikda bo‘lmagan hodisalardan faqat va faqat bittasi ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Yuqoridagilardan farqli o‘laroq, bu hodisalardan har birining har bir sinovda yuz berishi undan oldingi sinovlar natijasiga bog‘liq bo‘lsin. Agar tayin sinovda har bir hodisaning yuz berishining shartli ehtimollari undan oldingi sinovning natijasi bilan bir qiymatli aniqlansa, bunday sinovlar ketma-ketligi Markov zanjiri deyiladi.
Endi shartli ehtimollarni qo‘sh indeks bilan ifodalsh lozim bo‘ladi. Masalan, belgi hodisaning undan oldin sinovda hodisa yuz berganda yuz berishining shartli ehtimolini bildiradi.
Markov zanjirini boshqacha terminolagiyada tavsiflash qulayroqdir. k ta holatning birida bo‘lishi mumkin bo‘lgan biror fizikaviy sistemani ko‘z oldimizga keltiraylik: bu sistemaning holatdan holatga o‘tish ehtimoli berilgan. Shu bilan birga bunday o‘tishlar vaqtning tayin bir momentlarida ro‘y berishi mumkin bo‘lsin. Bunday holda sistemanig u yoki bu holatda bo‘lishi vaqtning oldingi momentida u bu holatlarning qaysi birida bo‘lishiga bog‘liq, demak, biz Markov zanjiri bilan ish ko‘ryapmiz.
Sistemaning i - holatdan j - holatga o‘tish ehtimolini o‘tish ehtimoli deb ataymiz. Oldingi terminlardan foydalanib, ni oldingi sinovda hodisa yuz bergan holda keyingi sinovda hodisa yuz berishining shartli ehtimoli deb ayta olamiz.
Markov zanjiri barcha mumkin bo‘lgan o‘tish ehtimollarining berilishi bilan to‘la tavsiflanadi. Bu ehtimollarni quyidagi k – tartibli kvadrat matritsa ko‘rinishda yizish tabiiydir:
.
Bu matritsa o‘tish matritsasi deyiladi. Shuningdek, zanjirni to‘la tavsiflash uchun yana birinchi sinovdagi turli natijalarning shartsiz ehtimollari ham berilishi lozim. Biroq ketma-ket sinovlar holatidagi ehtimollarga bu shartsiz ehtimollar emas, balki faqat o‘tish matritsasi bilan beriladigan shartli ehtimollar ta’sir qiladi.
O‘tish matritsasining elementlari qanoatlantirishi zarur bo‘lgan shartlarni osongina aniqlash mumkin. Avvalo, bu elementlarning hammasi
(1)
tengsizliklarni qanoatlantirishi zarurligi ravshan. So‘ngra hodisalar har bir sinovda to‘la gruppa tashkil qilgani sababli matritsaning istalgan satridagi elementlar yig‘indisi 1 ga teng bo‘lishi lozim:
(i=1, 2, …,k) (2)
Aksincha, elementlari (1) va (2) shartlarni qanoatlantiruvchi har qanday matritsa biror Markov zanjirining o‘tish matritsasi bo‘la oladi.
Markov zanjiriga doir ba’zi-bir misollarni ko‘ramiz.
Bunday masalalardan birinchisi sifatida t – sinovning natijasi ma’lum bo‘lgan holda t+2 - sinovning turli natijalari ehtimollarini hisoblaymiz. Buning uchun to‘la ehtimol formulasidan foydalanishimiz mumkin.
Haqiqatan ham, aytaylik, t – sinovda hodisa yuz bergan bo‘lsin. hodisaning t+2 – sinovdagi ehtimolini hisoblaymiz. Bu hodisa t+1 – sinovning natijasiga bog‘liq ravishda hususiy hollarga ajraladi. Aytaylik, t+1 – sinovda hodisa yuz bergan bo‘lsin. Bu hodisaning ehtimoli ga, bu natijadan keyin hodisaning t+2 – sinovda yuz berish ehtimoli ga teng bo‘ladi. Shunday qilib, t – sinovda hodisa t+1 – sinovda esa hodisa yuz berganligi shartida t+2 – sinovda yuz berish ehtimoli ko‘paytmaga teng. Shunga o‘xshash ko‘paytmalar boshqa oraliq natijalari uchun ham hosil qilinadi. Natijada quyidagilarni hosil qilamiz:
(3)
Bu yerda yozuv hodisa yuz bergandan ikki qadam keyin hodisaning yuz berish ehtimolini bildiradi. Umuman aytganda, (3) to‘la ehtimol formulasidir. (3) ning o‘ng tomoni matritsa i – qatorini uning j – ustuniga ko‘paytmasidan iborat ekani ko‘rinib turibdi. Bundan kelib chiqadiki, “ikki qadamli” o‘tish matritsasi o‘tish matritsasining kvadratiga teng ekan:
(2)
Misol. Markov zanjirining o‘tish matritsasi quyidagi ko‘rinishga ega:
.

Ikki qadam o‘tishining ehtimollarini aniqlaymiz. (4) formulaga asosan, quyidagini topamiz:

.
Shunga o‘xshash masalani umumiyroq holda ham qarash mumkin. T –sinovda hodisa yuz berganligi shartida t+n – sinovda hodisaning yuz berish ehtimolini aniqlaymiz. Biror t+m ( ) oraliq sinovni kiritib, to‘la ehtimol formulasiga ko‘ra, (3) ga o‘xshash
(5)
formulani hosil qilamiz. Agar orqali n ta sinovdan keyingi o‘tish matritsasini belgilasak, u holda (5) formuladan
(6)
munosabat kelib chiqadi. Bundan esa uning hususiy holi sifatida m=1, m=2 bo‘lganda (4) tenglik hosil bo‘ladi. Bundan tashqari, (6) dan, umuman,
(7)
kelib chiqadi.
Hozir biz korib chiqadigan masala limit ehtimollar haqidagi masaladir. Sinovlar soni cheksiz ortganda hodisalarning shartli ehtimollari qanday o‘zgaradi? Bu savolga quyidagi teorema orqali javob beramiz.
Limit ehtimollar haqida Markov teoremasi. Agar biror t – sinovda o‘tish matritsasining barcha elementlari musbat bo‘lsa, u holda har bir hodisa uchun uning yuz berishining limit ehtimoli mavjud bo‘ladi, ya’ni shunday son mavjudki, i ga bog‘liq bo‘lmagan holda ushbu
(8)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Markov teoremasi o‘tishlar soni yetarlicha katta bo‘lganda sistemaning har bir holatda bo‘lish ehtimoli amalda sistema holatning boshida qanday holatda bo‘lishiga bog‘liq bo‘lmasligi va limit qiymatidan juda kam farq qilishini ko‘rsatadi. Ana shu sababli bu miqdorni qadamlar soni yetarlicha katta bo‘lganda sistemaning holatda bo‘lishining shartsiz ehtimoli deb qarash mumkin.
Agar limit ehtimollarning mavjudligi isbot qilingan bo‘lsa, u holda tenglikning to‘g‘riligini osongina ko‘rsatish mumkin. Haqiqatan ham,
.
Har qanday n da tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun yuqoridagi tenglikdan
(9)
kelib chiqadi. Bu esa limit ehtimollarga sinovlar soni yetarlicha katta bo‘lganda hodisalar yuz berishining shartsiz ehtimollari sifatida yuqoridagi qarash to‘g‘riligini yana bir marta tasdiqlaydi.
Misol. Markov zanjiri quyidagi matritsa bilan berilgan bo‘lsin:
.
Bu zanjir uchun limit ehtimollar haqidagi teorema to‘g‘riligini tekshiramiz. matritsaning o‘zi teorema shartlarini qanoatlantirmaydi, chunki unda nol elementlar mavjud. Biroq ikki qadamli o‘tish matritsasida barcha o‘tish ehtimollari noldan farqli. Haqiqatan ham,
,
Shunday qilib, bu Markov zanjiri uchun limit ehtimollar haqidagi teorema shartlari bajariladi, va demak, limit ehtimollar mavjud. Endi limit ehtimollar qiymatlarini aniqlash qiyin emas.
Ishni boshlang‘ich o‘tish matritsasining bir necha darajalarini topishdan boshlaymiz.
;
.
Hosil qilingan bu natijalar limit ehtimollarni topish uchun yetarlidir. Haqiqatan ham, hosil qilingan barcha o‘tish matritsalarimimg bosh doigonallarida, dastlabki o‘tish matritsasidek, bir xil elementlar turganini ko‘rish mumkin. Agar bu faktni aniqlangan deb hisoblasak, u holda barcha mumkin bo‘lgan natijalarni limit ehtimollari o‘zaro teng bo‘lishi kerak. Bunday ehtimollar faqat 3 ta bo‘lganligidan limit ehtimolar ga teng bo‘lishi lozim. Bu narsa va matritsalarning elementlarini o‘nli kasrlar ko‘rinishida yozilganda yanada tushunarli bo‘ladi. Haqiqatan,
, .
matritsa

ko‘rinishda bo‘ladi, bu esa limit ehtimollarining qiymati haqida hech qanday shubhaga o‘rin qoldirmaydi. Biroq biz olib borgan bu hisoblashlar isbot qilinishi kerak bo‘lgan fikrimizni isbot qila olmaydi.
Eng avvalo o‘tish matritsasi ushbu ko‘rinishda bo‘lishini isbotlaymiz:
. (10)
Binobarin, bu yerda , chunki matritsadagi satr elementlari soni doimo birga teng bo‘lishi lozim. Biz hisoblagan matritsalarning ko‘rinishi bu davoning n=1, n=2, n=3 bo‘lgan hollarda tog‘riligini tasdiqlanadi.
Aytaylik, biror n uchun o‘tish matritsasi (10) ko‘rinishda bo‘lsin. Bu formulaning n+1 uchun to‘g‘riligini isbotlash uchun (10) matritsani kvadratga oshiramiz:
.
Yozilgan matritsalarni ko‘paytirib chiqib, ko‘paytma matritsaning diagonalidagi elementlar doimo ga, diagonaldan tashqaridagi elementlari esa ga tengligini topamiz. Shunday qilib, matritsa

Ko‘rinishda bo‘lib, bunda va . Demak, (10) formula istalgan n lar uchun o‘rinli..
Biz ekanini aytgan edik. Bundan foydalanib, ni orqali ifodalash mumkin:
.
Endi ekanini isbot qilish qoladi deb, ayirmani qarab chiqamiz:
.
Hosil qilingan tenglikni n=1, 2, 3, ... larda tadbiq qilib,

ni hosil qilamiz. Ammo , shuning uchun , va demak,

Bundan esa, va ekani kelib chiqadi.
Umuman olganda diagonal elementlari tengligidanoq, sinovning barcha natijalari uchun limit ehtimollarning tengligi ya’ni

ekanligi kelib chiqadi.

XULOSA
O‘rganilgan adabiyotlar va tajribalar taxliliga asoslangan holda, ushbu bitiruv malakaviy ishini bajarish jarayonida:

1. 
   Bitiruv malakaviy ishini asosiy qismini yoritib berish uchun boshlang‘ich tushunchalar keltirildi;
   
2. 
   Oddiy Bernulli sxemasi o‘rganib chiqildi;
   
3. 
   O‘zaro bog‘liq bo‘lmagan s ta hodisa uchun Bernulli sxemasinig umumlashmasi o‘rganib chiqildi;
   
4. 
   Bog‘liq bo‘lmagan n ta tajribada ro‘y berish ehtimollari har xil bo‘lgan hodisa uchun Bernulli sxemasining umumlashmasi o‘rganib chiqildi;
   
5. 
   Bog‘liq tajribalar ketma-ketligi uchun aniqrog‘i Markov zanjiri ko‘rinishdagi bog‘liqliklarga oid umumlashmalar ko‘rib chiqildi.
   

Shuningdek, bitiruv malakaviy ishida keltirilgan misollar mavzuni tushunarli bo‘lishiga yordam beradi. Bitiruv malakaviy ishning asosiy qismi uning ikkinchi bobida yoritilgan.
Bitiruv malakaviy ishi kirish ikkita bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati, ilovalar va glossarydan iborat.
Bitiruv malakaviy ishidan Bernulli sxemasining umumlashmalari mavzusini o‘qitishda uslubiy qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI

1. 
   I. A. Karimov “Yuksak ma’naviyat yengilmas kuch”. Т. “Ma’naviyat” 2008y, 61-bet.
   
2. 
   . Kadrlar tayyorlash milliy dasturi. O‘quvchi ma’naviyatini shakllantirish “Sharq” nashriyoti. T. 2000y, 20-54-betlar.
   
3. 
   O‘zbekiston Respublikasining ta’lim to‘g‘risidagi qonuni. O‘quvchi ma’naviyatini shakllantirish “Sharq” nashriyoti. T. 2000y, 7-18-betlar.
   
4. 
   Sh.Mirziyoey. “Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik-har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo‘lishi kerak (2017 yil 14 yanvar ma’ruzasi). Toshkent-O‘zbekiston - 2017
   
5. 
   Sh.Mirziyoyev. 2017 yil 7-fevral “O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida”gi Farmoni. “Sog‘lom avlod uchun” jurnali 2-son 2017 yil.
   
6. 
   Shavkat Mirziyoyevning O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag‘ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo‘shma majlisidagi nutqi. 14.12.2016
   
7. 
   O‘zbekiston Pespublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyevning O‘zbekiston Respublikasi Oliy Majlisiga murojaatnomasi. 22.12.2017
   
8. 
   R. S. Guter, B. V. Obchinskiy “Ehtimollar nazariyasi asoslari”. “O‘qituvchi” nashriyoti. Toshkent – 1978.
   
9. 
   Sirojiddinov S. H., Mamatov M. M. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika”. “O‘qituvchi” nashriyoti. Toshkent – 1980.
   
10. 
    Abdushukurov A.A., Zuparov T.M. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika”. “Tafakkur bo‘stoni” nashriyoti. Toshkent – 2015.
    
11. 
    Mamatov M. M., Ibrohimov R. “Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar to‘plami” pedagogika institutlari uchun o‘quv qo‘llanma. “O‘qituvchi” nashriyoti. Toshkent – 1989.
    
12. 
    Fayzullayeva S. F. “Ehtimollar nazariyasidan masalalar to‘plami”. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” nashriyoti. Toshkent – 2006.
    
13. 
    Gurman V.E.Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar yechishga doir qo‘llanma.Toshkent, “O‘qituvchi”, 1980-yil.
    
14. 
    www.ziyonet.uz
    
15. 
    www.arxiv.uz
    
16. 
    www.pedagog.uz
    
17. 
    www.o‘qituvchi.uz