Bernulli formulasi Muavr Laplasning lokal va integral teoremalari. Puasson formulasi

Mavzuga doir namunaviy masalalarni yechimi.
Misol 1. Har bir chigitni unib chiqish ehtimoli 0,9 teng bo‘lsa, 4ta ekilgan chigitdan aniq 3tasini unib chiqish R₄(3) ehtimolini toping.
Yechish. Masala shartiga asosan nq4, kq3, P(A)qpq0,9, P(A)qqq1-pq0,1. Talab qilingan ehtimollik Bernulli formulasiga asosan quyidagicha bo‘ladi:
P₄(3)qC₄³(0,9)³(0,1)q4!/(3!(4-3))! 0,729. 0,1q4/1! 0,0729q0,2916
Misol 2.Agarda biror o‘simlik urug‘ining 80% ti unib chiqadigan bo‘lsa, ekilgan 300 dona urug‘dan unib chiqqanlar soni a) 240 dona, b) 220 dan 260 ta oraliqda bo‘lish ehtimolliklarini toping.
Yechish.Masala shartiga ko‘ra nq300, har bir urug‘ni unib chiqish ehtimoli rq0,8, chiqmaslik ehtimoli qq0,2 ga teng. a) kq240, talab qilingan R₃₀₀(240)q?. Bernulli formulasi bilan R₃₀₀(240)q300!/(240!60!)(0,8)²⁴⁰(0,2)⁶⁰ ehtimolikni aniq hisoblash mazkur holda mumkin emas. Umuman n - ni qiytmati katta bo‘lganda Bernulli formulasidan foydalanish qiyinlashadi. Bunday hollarda, ya’ni n-katta bo‘lib, har bir sinashda hodisaning ro‘y berish ehtimolligi o‘zgarmas, ya’ni np 10 bo‘lsa,u holda n ta erkli sinashda A hodisaning k-marta ro‘y berish ehtimoli R_n(k) ni taqriban(2) Muavr-Laplas formulasi (2) (lokal teoremasi) yordamida hisoblash mumkin:
agarda x>4 bo‘lsa, (x)<0.0001 bo‘ladi.
Bizni misolda nq300, kq240, pq0.8, qq0.2 bo‘lganligidan
talab qilingan ehtimollik
1-ilovadagi jadvaldan (0)q0,3989 topsak,

b) Bu holda nq300 pq0.8 qq0.2 k₁q220, k₂q260, R₃₀₀(220k260)q? ehtimollikni hisoblashda Muavr-Laplasning integral (4) teoremasidan foydalanamiz.

Bizning misolda

bo‘lgandagidan talab qilingan ehtimollik (4) formulaga asosan:
R₃₀₀(220k260)F(2,89)-F(-2,89)qF(2,89)QF(2,89)q2*F(2,89)
2 -ilovadagi jadvaldan F(2,89)q0,4980 topamiz, u holda
R₃₀₀(220k260)2*0,4980q0,996 bo‘ladi. Demak, 300 ta ekilgan chigitdan unib chiqqanlari soni (220; 260)oralig‘ida bo‘lishi qariyib muqarrar hodisa ekan.
Misol 3. Har bir to‘p g‘o‘zani vilt kasaliga chalinish ehtimoli 0,002 bo‘lsa, tavakkaliga olingan nq500 to‘p g‘o‘za ichida vilt bilan kasallanganlar soni ko‘pi bilan bitta bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. nq500, pq0,002, P₅₀₀(k<1)q? qnpq500 0,002q1<10, demak talab qilingan ehtimolni (4) Puasson formulasi bilan taqriban hisoblash mumkin:

P₅₀₀(k<1)qP₅₀₀(0)QP₅₀₀(1). P₅₀₀(0)q(1⁰e^-1)/0!q1/e, P₅₀₀(1)q(1¹e^-1)/1!q1/e
Natijada talab qilingan ehtimollik P₅₀₀(k<1)qP₅₀₀(0)QP₅₀₀(1)q1/eQ1/eq2/eq2/2,718q0,73