Bernulli differensial tenglamasi

Misol 1. tenglama bilan berilgan konsentrik aylanalar oilasi gardishga ega emas.

Chunki bunday egri chiziqlar oilasi uchun yetarli shart bajarilmaydi:

Demak gardish yoʻq!

Misol 2. aylanalar oilasining gardishi topilsin?

c – ning ifodasini 1-tenglamaga qoʻyamiz

Demak gardish tenglamasi : ;

Gardish tenglamasida aylanalar oilasi maxsus nuqtalarga ega emas, shuning uchun ham olingan yechimlar faqat gardish tenglamalari boʻladi.

M isol 3. shart bajarilganda tenglama bilan berilgan ellipslar oilasining gardishi topilsin.

0

1-tenglamaga qoʻyamiz

, boʻlishi maʼnoga ega emas, demak bu tenglama esa kvadratni tashkil qiladi.

Misol 4. Koordinatalar oʻqlari bilan kesishish natijasida bir xil yuza hosil qiladigan toʻgʻri chiziqlar oilasining gardishi topilsin?

oʻzgarmasligi lozim .

, a-ning ifodasini 1-tenglamaga qoʻysak gardish tenglamasini topamiz:

– demak gardish tenglamasi giperbola ekan.

Masalan toʻgʻri chiziq koordinata oʻqlari bilan kesishish natijasida hosil qilgan yuza S=4 ga teng boʻlsa, u holda bunday toʻgʻri chiziqlar oilasi gardishi giperbola boʻladi. Giperbolaning ixtiyoriy nuqtasiga oʻtqazilgan urinma koordinata oʻqlari bilan hosil qilgan uchburchak yuzasi 4 ga teng.

Misol 5. Bir xil yuzaga ega boʻlgan ellipslar oilasi gardishi topilsin?

– mustaqil bajarish uchun vazifa.

Har qanday differensial tenglamaning umumiy yechimi bu qandaydir egri chiziqlar oilasidir. Demak har qanday egri chiziqlar oilasiga qandaydir differensial tenglama mos keladi. Aytaylik n ta parametrli egri chiziqlar oilasi

(*)

berilgan boʻlsin. Unga mos keladigan differensial tenglamani topish uchun y ni x ning funksiyasi deb (*) tenglamadan n marta xususiy hosila olish lozim. Hosil boʻlgan tenglamalar va (*) tenglamadan -larni yoʻqotsak, (*) ga mos keladigan differensial tenglamani topamiz.

Misol 6. egri chiziqlar oilasiga mos keladigan differensial tenglama topilsin?





va lar ifodalarini egri chiziqlar oilasiga qoʻysak, ixchamlashlardan keyin

differensial tenglamaga kelamiz.

Misol 7. egri chiziqlar oilasiga mos differensial tenglama topilsin?

Parametr 1 ta boʻlgani uchun, bir marta x boʻyicha hosila olamiz:

natijada koʻrinishdagi differensial tenglamaga kelamiz.