Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

3-§. Sonli misol

1-Misol. Quyida berilgan chiziqli emas programmalashtirish masalasining eng kichik qiymatini ichki shtraf funksiyalar usuli bilan toping:

(3.1)

(3.2)

Yechimi. 1) Bu masalani yechish uchun shtraf funksiyasini yasaymiz:

. (3.3)

nuqtasida funksiyasi shartsiz minimum qiymatiga ega bo’lishi uchun, bu funksiyaning va o’zgaruvchilari bo’yicha xususiy hosilalarini nolga tenglaymiz, ya’ni

. (3.4)

bu tenglamalarning yechimlari quyidagicha bo’ladi:

Bundan intilganda , , , bo’ladi.

Optimal nuqtasi bo’lib va hisoblanadi.

Endi optimal nuqtasini topish algoritmini keltiramiz. funksiyasining shartsiz minimum nuqtasini Nyuton usuli bilan izlaymiz. Dastlabki yaqinlashuvini shartidan saylab olamiz. Mayli va bo’lsin. Unda da 1-chi yaqinlashuvini ushbu formula bo’yicha hisoblaymiz:

(3.5)

Buning uchun hisoblaymiz:

va uning teskari matritsasini hisoblaymiz:

.

Bundan

. (3.6)

(3.6) ifodasiga da va ning qiymatlarini olib borib qo’yib va (5) dan ushbu quyidagi qiymatlariga ega bo’lamiz:

(3.7)

Bundan so’ng da, (3.7), (3.6), (3.5) dan

Hisoblashning asosiy natijalarini 1 jadvalda joylashtirilgan. Jadvaldan ning katta qiymatlarida yaqinlashuvlari (3.1)-(3.2) chiziqli emas masalaning optimal yechimiga , yordamchi funksiyaning qiymati esa masalaning maqsad funksiyasining qiymatiga yaqinlashuvchi bo’ladiganligi ko’rinib turibdi.

1-jadval.

╔══╦══════════╦══════════╦═══════════╦═══════════╦══════════╦══════════╗

║ k║ rk ║ Xk ║f'x1(x1;x2)║ J ║ detJ ║ J* ║

║ ║ ║ ║f'x2(x1;x2)║ ║ ║ ║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 0║ ║2.04772258║ 0.00000004║ 2.09109759║ ║0.47821775║

║ ║0.10000000║ ║ ║ 0.00000000║4.22981882║0.00000000║

║ ║ ║2.54772258║ 0.00000004║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.02277446║ ║0.49437049║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 1║ ║2.00497532║ 0.00000014║ 2.00990129║ ║0.49753690║

║ ║0.01000000║ ║ ║ 0.00000000║4.02477741║0.00000000║

║ ║ ║2.50497532║ 0.00000014║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00247526║ ║0.49938196║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 2║ ║2.00049973║-0.00000005║ 2.00099897║ ║0.49975035║

║ ║0.00100000║ ║ ║ 0.00000000║4.00249815║0.00000000║

║ ║ ║2.50049973║-0.00000005║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00024986║ ║0.49993750║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 3║ ║2.00005007║ 0.00000014║ 2.00009990║ ║0.49997503║

║ ║0.00010000║ ║ ║ 0.00000000║4.00024986║0.00000000║

║ ║ ║2.50005007║ 0.00000014║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00002503║ ║0.49999374║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 4║ ║2.00000501║ 0.00000001║ 2.00001001║ ║0.49999750║

║ ║0.00001000║ ║ ║ 0.00000000║4.00002480║0.00000000║

║ ║ ║2.50000501║ 0.00000001║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00000238║ ║0.49999940║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 5║ ║2.00000048║-0.00000005║ 2.00000095║ ║0.49999976║

║ ║0.00000100║ ║ ║ 0.00000000║4.00000238║0.00000000║

║ ║ ║2.50000048║-0.00000005║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00000024║ ║0.49999994║

╠══╬══════════╬══════════╬═══════════╬═══════════╬══════════╬══════════╣

║ 6║ ║2.00000048║ 0.00000085║ 2.00000095║ ║0.49999976║

║ ║0.00000010║ ║ ║ 0.00000000║4.00000238║0.00000000║

║ ║ ║2.50000048║ 0.00000085║ 0.00000000║ ║0.00000000║

║ ║ ║ ║ ║ 2.00000024║ ║0.49999994║

╚══╩══════════╩══════════╩═══════════╩═══════════╩══════════╩══════════╝