Bazislarda spektral analiz algoritmlar

Spektral tahlil

Quyosh nuri prizma orqali o‘tkazilganida, uning ortidagi ekranda spektr paydo bo'ladi. Olimlarning bu hodisaning mohiyatini anglashga va unga ko‘nikishga ikki yuz yilga yaqin vaqt ketdi. Agar sinchkovlik bilan qaralmasa, spektrning alohida qismlari o‘rtasida aniq chegarani ko‘rib bo‘lmaydi: qizil asta sekinlik bilan zarg‘aldoqqa, zarg‘aldoq esa sariqqa o‘tib boradi va ho kazo.
Spektrga birinchilardan bo‘lib sinchkovlik bilan nazar solgan inson - ingliz hakimi kimyogari Uilyam Xayd Vollaston (1766-1828) bo‘ldi. Vollaston quyosh spektridagi bir necha oraliqlarda, ko‘zga ko‘rinmaydigan tartibda kesib o‘tuvchi noma'lum xira chegara chiziqlarini kuzatdi. Lekin u bu hodisaga unchalik ahamiyat bermadi. Vollaston spektrdagi xira chiziqlarni prizmaning o‘ziga xosligi (masalan nuqsoni) yoki nur manbaga bo‘layotgan biror tashqi ta'sir, yoki yana biror boshqa juz'iy sababdan deb o‘yladi. Uni faqat mazkur chiziqlar rangdor yo‘laklarni bir-biridan yaqqol ajratib turganligi qiziqtirgan. Vollaston unchalik katta ahamiyat bermagan bu noma'lum chiziqlarni haqiqiy ma'noda chuqur ilmiy tahlil qilib o‘rganib chiqqan olim Olmoniyalik Yozef Fraungofer (1787-1826) bo‘ldi. Uning sharafiga bu chiziqlar fanda Fraungofer chiziqlari deb yuritila boshladi va ajoyib tadqiqotchining nomini tarixda abadiylashtirdi.

Bazislarida spektral analiz asoslari.

FURYE (Fourier) Jan Batist Jozef — fransuz matematigi, Parij FA aʼzosi (1817). Oserdagi harbiy maktabni tugatgan, oʻsha maktabda, keyin Politexnika maktabida oʻqituvchi boʻlib ishlagan (1796—98). Dastlabki ilmiy ishlari algebraga doyr. Asosiy ilmiy ishlari matematik fizikaga oid.
Furye o’zgartirish (f) – operatsiyasi moddiylik o’zgaruvchisini, boshqa funksiyaning moddiylik o’zgaruvchisiga solishtirish, bu yangi funksiya reja tuzishda boshlang’ich ajralish funksiyasini elimentar garmonika tebranishini har-xil chastotasi bilan amplituda kaefsentini tavsiflaydi[12].
X[n] diskret signali N ta nuqtali davrga ega bo‘lsin. Bu holda uni diskret sinusoidlarning yakuniy qatori (ya’ni chiziqli kombinatsiya) ko‘rinishida keltirish mumkin:

N/2 2πk(n − φk) x^[n^]= � Ck cos N ^(fure qatori^)(8) k=0

(2.1)

O‘xshash yozuv (har bir cosinusni sinus va kosinusga taqsimlaymiz, lekin endi

– fazalarsiz):

N/2 N/2 2πkn 2πkn x^[n^]= � Ak cos N + � Bk sin N ^(fure qatori^)(9) k=0 k=0

(2.2)

Bazisli sinusoidlar karrali chastotalarga ega. Qatorning birinchi a’zosi (k = 0)

• 
  signalning doimiy tashkil etuvchisi deb ataluvchi konstanta. Eng birinchi sinusoidlar (k = 1) shunday chastotaga egaki, uning davri dastlabki signalning o‘zi
  

bilan mos. Eng yuqori chastotali tashkil etuvchi (k = N/2) shunday chastotaga egaki, uning dabri ikki hisobotga teng. A_k va B_k koeffitsienlari signal spektri deb ataladi.
Endi ko‘rib turganimizdek, har bir signal uchun A_k va B_k koeffitsientlarini aniqlash mumkin. Bu koeffitsientlarni bilgan holda har bir nuqtada Furye qatorining summasini hisoblagan holda dastlabki signalni tiklash mumkin. Signalni sinusoidlarga taqsimlanishi (ya’ni koeffitsientlarning olinishi) Furyening to‘g’ri o‘zgartirishi deb ataladi. Teskari jarayon – signalning sinusoidalar bo‘yicha sintezi

• 
  Furyening teskari o‘zgartirishi deb ataladi.
  

Furye teskari o‘zgartirish algoritm ochiq-oydin (u Furye qatorining formulasida mavjud; sintezni olib boorish uchun unga faqatgina koeffitsientlarni qo‘yib chiqish kerak). Furye to‘g’ri o‘zgartirishining algoritmini ko‘rib chiqamiz, ya’ni A_k va B_k koeffitsientlarning topilishi.

2πkn 2πkn N � sin N , cos N � , k = 0, … , 2 (10)

(2.3)

n argumentdan funksiya tizimi N davrli davrli diskret signallari fazosida orthogonal bazis hisoblanadi. Bu unda fazoning har qanday elementini taqsimlash uchun tizimning barcha funksiyalari bilan elementning skalyar ko‘paytmalarini hisoblab, va olingan koeffitsientlarni normallashtirish degani. Shunda dastlabki signal uchun A_k va B_k koeffitsientlar bilan bazis bo‘yicha taqsimlash formulasi haqiqiy bo‘ladi.
Shunday qilib, A_k va B_k koeffitsientlari skalyar ko‘paytmalar sifatida hisoblanadi (uzluksiz holatda – funksiyalar ko‘paytmasidan integrallar, diskret holatda – diskret signallar ko‘paytmasi summalari):


(2.4)
Savol paydo bo‘ladi: nima uchun dastlabki signalda N sonlar, N+2 koeffitsientlar yordamida yoziladi? Savolga javob quyidagicha bo‘ladi: B₀ va B_N/2 koeffitsientlari har doim nolga teng (chunki ularga mos keluvchi “bazisli” signallar diskret nuqtalarda ayniy ravishda nolga teng), va ularni Furyening to‘g’ri va teskari o‘zgartirishini hisoblashda tashlab yuborish mumkin.
Hozirgacha biz haqiqiy signallardan DFO‘ ko‘rib chiqayotgan edik. Endi DFO‘ ni kompleksli signallar holati bilan birlashtiramiz. x[n], n=0,…,N-1– N kompleks sonlardan tashkil topgan dastlabki kompleksli signal bo‘lsin. X[k], k=0,…N-1 belgilaymiz – uning kompleksli spektri, shuningdek N kompleks sonlardan tashkil topgan. Shunda Furye to‘g’ri va teskari o‘zgartirishining quyidagi formulalari haqiqiy.

(2.5)
Agar bu formulalar bilan spektrga haqiqiy signal taqsimlansa, unda birinchi N/2+1 spektrning kompleksli koeffitsientlari “kompleksli” ko‘rinishda keltirilgan “oddiy” haqiqiy DPF spektr bilan mos tushadi, qolgan koeffitsientlar esa diskretizatsiya chastotasining yarmiga nisbatan ularning simmetrik aksi bo‘ladi. kosinusli koeffitsientlar aksi juft, sinuslar uchun esa – toq.[12]

Xaara funksiyasi tizimlari teoretik va amaliy masalalarni katta sinfini yechishda texnika va fanning turli sohalarida keng qo‘llanilishga ega. Bu bu bazis funksiyalarning qator ajoyib xususiyatlari va ular uchun spektral analizning videoeffektli hisoblash algoritmlari mavjudligi bilan bog’liq. Ixtiyoriy asosli hisoblash tizimida sonlarni ko‘rsatish holatidagi funksiya ma’lumotlarini umumlashtirish imkoniyati ham muhim ahamiyatga ega[13].

Xaaraning normallashgan funksiyalari ko‘p ma’noli funksiya hisoblanadi. Shuning uchun spektral qayta ishlash amaliyoti uchun atiga uch oddiy qiymatlarni (0, +1 va -1) qo‘llaydigan Xaaraning normallashgan funksiyalari ancha qulay hisoblanadi. Bunday funksiyalar analitik tarzda quyidagi ifoda bilan beriladi va belgio‘zgaruvchanlik xarakteriga ega, bunda birinchi turning uzilishning ichki nuqtalarida o‘ng tomonda uzluksiz qabul qilinadi.

2r/2 ; m − 1 ≤ t < m − 1/2 2r 2r X^(r, m, t^)= ^m^− 1/2 m −2^r/2; ≤ t < 2r 2r ⎩ 0; t ∉ [0,1)

(2.6)

Bu ifodadan ko‘rinib turibdiki, har bir guruh chegarasida bir xil quvvatga ega Xaara funksiyalari yig’ilgan.
Xaara funksiyalarini Uolsh funksiyasidan yana quyidagi tarzda olish mumkin. Uolshning birinchi funksiyasini [0,1) intervalda tanlaymiz va uni intervaldan tashqarida nolga teng deb olamiz(2.1-rasm).

2.1-rasm. N=8 uchun Xaara funksiyalari tizimi.

Endi bu funksiyani yarim intervalda z o‘qi bo‘yicha ikkiga qirqamiz. Bunda Xaara funksiyasi hosil bo‘ladi. siqilgan Uolsh funksiyasini z o‘qi bo‘yicha aniqlanish intervalining yarimiga o‘nga siljitamiz, unda Xaaraning ikkinchi guruhi barcha funksiyalari hosil qilinadi. Siqilgan funksyalarni siqish va siljitish jarayonini berilgan N qiymati uchun Xaara funksiyasining to‘liq tizimi qurilishigacha davom ettirish mumkin[14]. Qiziq, yoritilgan
Xaaraning siqish va siljitish jarayonlarini Uolsh va Xaara tizimlari orasida o‘rta o‘rinlarni egalaydigan tizimlarini hosil qilgan holda Uolshning boshqa funksiyalariga ham qo‘llash mumkin. Bundan tashqari, bunday jarayonni boshqa bazis funksiyalarga qo‘llash mumkin, masalan: trigonometriyaga. Aynan shunday yondashuv veyvletlar qurilishida ishlatiladi(2.2-rasm).

2.2-rasm. N=16 uchun Xaara funksiyalari tizimi.

Xaara funksiyalari multiplikativ hisoblanmaydi, chunki bunday funksiyalarning ikkitasining ko‘paytmasi Xaara tizimiga tegishli bo‘lmagan natijalovchi funksiyani beradi. Shu sababdan Xaara spektrlari multiplikativ bazislar spektri hususiyatiga ega emas. Shunga qaramay alohida signallarning Xaara spektrlari bir qator foydali xususiyatlarga ega. Masalan, doimiylik qismlarining ikkilik-ratsional soniga ega bo‘lak-doimiy signalning Xaara spektri yakuniy va k  N raqamli tashkil etuvchilarga ega emas. Bu shu bilan bog’liqki, k  N raqamiga ega barcha Xaara funksiyalari doimiylik qismida +1 va -1 qiymatlarining teng soniga ega bo‘ladi.
Xaaraning diskret funksiyalarini analitik tarzda quyidagi munosabatlar yordamida yozish mumkin: N=8 uchun Xaaraning diskret tizimini olish.
Bu tizimni Xaara diskretizatsiya yo‘li bilan olish mumkin. Ikkala holatda ham quyidagi matritsa ko‘rinishida keltirish mumkin bo‘lgan bir xil natija bo‘ladi:

2r/2 ; m − 1 ≤ t < m − 1/2 2r 2r X^(r, m, t^)= ^m^− 1/2 m −2^r/2; ≤ t < 2r 2r ⎩ 0; t ∉ [0,1)

(2.7)

(2.12)


^{Bu yerda а 4 va b 4} haqiqatdan tanlash o’rinli koeffisiyentlar, qachon matritsa S₄ ortogonalnoy bo’lsa, a uzunligi sakrashlarning doimiy 2 – vektorining o’zgarishlari doimiylik talabidan foydalanib sakrashning uzunligini topish mumkin. a₄=2b₄ ortogonalnost talabidan S₄ S^T =1 ko’rsatiladi, b₄=1/5^1/2
(2.13)
Tekshirsh qiyin emas, matritsa S₄ o’rta yetarli mavjud.Undan tashqari o’zining sekventli o’zgartirishlariga ega.Sonlarning qatori qisqarishi bilan 0 dan 3 gacha. Arrasimon o’zgartirishli matritsa N=8 quyidagi ko’rinishga ega:

(2.14)

Matritsani qurish S₄, koeffisiyentlar a₈ va b₈ tanlanadi. Qiya vektor teng o’lchamlilarni o’ldiradi va sakrashlarni hamma qatorlar o’rta normal ko’rinadi vektorlar bilan a matritsani o’z asosiy xususiyatlarga ega.
Umumiy aloqadorlik rekurenli formula olish mumkinm?matritsaga taalluqli arrasimon o’zgartirishlar N- va (N/2)-tartibda.
(2.15)
Bu yerda I_N – birlik matritsa N-ning tartibi. Doimiy a_Nva b_N rekurent aloqa bo’yicha topish mumkin.


(2.16)


(2.17)


(2.18)

Yoki bu formula orqali topish mumkin:

(2.19)


(2.20)

Ushbu rasmda arrasimon o’zgartirishlarning grafik funksiyalari keltirilgan N=16.