Bajardi: Eshova maftuna

Эркли синовлар кетма - кетлиги. Бернулли схемаси. Эхтимоллар назариясининг лимит теоремалари.

1. Эркли синовлар кетма-кетлиги.

   
   

1. Бернулли теоремаси.

   
   

1. Муавр-Лапласнинг теоремалари.

   
   

1. Эркли синовлар кетма -кетлиги. Бернулли схемаси формуласи.

   
   

Фараз килайлик А ходиса хар бир синовда юзага келиш эхтимоли Р(А)-р булсин. n та синов утказамиз. Бу синовларни эркли дейилади, агар хар бир синовдан сунг уни юзага келиш эхтимоли узгармаса. Биз утказадиган синовлар эрклидир. А ходисанинг n-та эркли синовларда юзага келиш сонини k булсин, деб фараз килсак, Р_n,k(А)- А ходисанинг n синовларда k марта юзага келиш эхтимоли, топамиз. Оддийлик учун n=3, k=2 деб оламиз. А -ходисанинг юзага келиш ходисасини А билан, уни юзага келмаслик ходисасини А билан белгилаймиз. Унда биз эхтимолини излаетган ходисани В билан белгиласак: В=ААА+ААА+ААА булади. Бунда ААА «биринчи синовда юзага келмади, колган синовларда юзага келди» ходисани тушунтиради. ААА -эса биринчи ва учинчи синовларда А юзага келди иккинчисида юзага келмади ва нихоят ААА- биринчи ва иккинчи синовларда А юзага келиб, учинчи синовда А юзага келмаган. ААА- холатнинг эхтимоли Р(ААА)=Р(А)Р(А)Р(А) булади, чунки синовлар эркли булиб бу холатни юзага келиш эхтимоли хар бир синов натижаси эхтимоллари купайтмасидан иборатдир.

Р(А)=р, Р(А)=1-Р(А)=1-р ни эсласак Р(ААА)=(1-р)рр=

=р²(1-р)=3р²(1-р) Бу ифодада 3=С²₃ дир ва (1-р) даражаси 1=3-2

Шундай килиб,

Р_3,2(А)= С²₃р²(1-р)^3-2 булади. Исталган n ва m учун

Р_m,n(A)= С^m_nр^m(1-р)^n-m (1)

m=0,1,2,3,...,n лар учун хосил киламиз. (1) формулани Бернулли номи билан аталади.

Агар Х билан юкорида келтирилган А ходисанинг n синовлар натижасида юзага келиш сонини белгиласак, у Х=0,1,2,3,...,n кийматларни кабул этади ва

Р(Х=m)= С^m_nр^m(1-р)^n-m ,m=0,1,2,3,...,n (2)

булади.

2. билан таксимланган тасодифий микдорни Бернулли конуни билан таксимланган дейилади.

   
   

Р(Х=m)=  С^m_nр^m(1-р)^n-m=(р+1-р)ⁿ=1 (3)

булади.

С^m_n= (4)

булиб, уни n элементлардан m-таси бирхил ва n-m бошка хил булган комбинациялар сони дейилади.

P_m,n(A)= P _,n(A) булса, m₀-ни энг катта эхтимолли А ходисанинг юзага келиш срни, киска энг катта эхтимолли сон дейилади. Бу сон

np-qЈm₀Јnp+p (5)

оралигида булади.

Пуассон теоремаси. Бу теорема юзага келиш эхтимоли кичик булган ходисалар устида утказиладиган синовларга багишланган.

Фараз этайлик А ходисанинг хар бир синовда юзага келиш эхтимоли Р(А)=р жуда кичик булиб, синовлар сони n га купайтирилганда l=np булсин, унда етарли катта n лар учун куйидаги теорема уринли булади.

Теорема. А ходисани юзага келиш эхтимоли Р(А)=р жуда кичик булиб эркли синовлар сони n га купайтирилганида

np=l (6)

булсин. Унда жуда катта n-лар учун

Р_n,m(A)» (7)

булади.

Муавр -Лапласнинг локал теоремаси.

Катта n сонли синовларда ходисанинг m марта юзага келиш эхтимолини Бернулли формуласи билан хисоблаш кийинчиликлар тугдиради.

Бундай холларда куйидаги теорема натижаларидан фойдаланиш амалда катта кулайликлар яратади.

Теорема 1. Агар А ходисанинг хар бир синовда юзага келиш эхтимоли р узгармас, бир ва нолдан фаркли, эркли текширишлар сони n исталганча катта булса, унда Р_n,m-А ходисанинг n синовларда m-марта юзага келиш эхтимоли куйидаги формула оркали хисобланади.

Р_n,m(A)»f(x)/ , (1)

бу ерда

х=(m-np)/  (2)

f(x)= (3)

1. формулани Муавр - Лапласнинг локал формуласи дейилади.

   
   

1. формула оркали утказиладиган хисобларни оддийлаштириш учун f(x) функция учун махсус таблицалар тузилган. Бу таблицалардан фойдаланиш учун f(x) нинг куйидаги хоссаларини эслатиб утамиз:

   
   

1. f(x)-жуфт функция f(-x)= f(x)

   
   

1. х-нинг мусбат кийматларида f(x) монотон (бирхил) камаювчидир ва х®Ґ интилганда лимити нолга тенг.

   
   

1. Амалда агар хі5 булса f(x)=0 дейиш мумкин.

   
   

Теорема 2. Агар А ходисанинг хар бир синовда юзага келиш эхтимоли узгармас р га тенг нол ва бундан фаркли булса ва синовлар сони n етарлича катта булса, унда n синовларда А нинг юзага келиш сони m (а,в), (а<в) оралигида булиш эхтимоли куйидаги формула оркали топилади.

Р_n(aЈmЈb)»0,5[Ф(х₂)- Ф(х₁)] (4)

Бу формулада

х₁=(а-np)/  , х₂=(в-np)/  (5)

Р_n(aЈmЈb) символи эса кавс ичидаги тенг тенгсизликларни бажарилиш эхтимолини англатади. Ф(х) функцияси

Ф(х)= (6)

формуладан аникланади. Бу функция учун хам махсус таблицалар тузилган. Бундай жадваллар купчилик «Эхтимоллар назарияси ва статистика» китобининг сунгида келтирилган.

Агар ходисанинг юзага келиш эхтимоли нолга якин булса биз юкорида келтирган Пуассон теоремасидан фойдаланамиз.

Муавр -Лапласнинг интеграл теоремаси.

Бу теорема амалий хисоблада ахамиятини мисолда курайлик.

Ф(х) нинг кийматини хисоблашда жадваллардан фойдаланиш учун куйидаги Ф(х) хоссаларини келтирамиз:

1. Ф(х)- ток функция, яъни Ф(-х)=- Ф(х)

   
   

1. х₁<х₂ булса Ф(х₁)Ј Ф(х₂), яъни монотон усувчидир.

   
   

1. Ф(х) нинг х®Ґ даги лимити 1 га тенг.

   
   

1. х нинг барча 5 дан катта кийматлари учун Ф(х)=1 деб оламиз, Ф(5)=0,9999994»1 дир.

   
   

1. Р_n(|m-np|Јr)»Ф(r/ )

   
   

1. Р_n(|m-np|ЈD)»Ф(D )

   
   

булади.

Назорат саволлари.

1. Биномиал схема.

   
   

2. Бернулли теоремаси.

   
   

3. Муавр-Лапласнинг локал теоремаси.

   
   

4. Муавр-Лапласнинг интеграл теоремаси.

   
   

Таянч иборалар.

Боглик булмаган синашлар кетма-кетлиги, Бернулли схемаси, n талаб ва таклиф синашда А ходиса руй берган синашлар, А ходиса биринчи марта руй бериши учун зарур булган синашлар, локал ва интеграл теоремалар.

Асосий адабиёт.

1. 
   Алексакин С.В., Балдин А.В., Криницин В.В. и др. Прикладной статистический анализ данных (учебно – практическое пособие для вузов) книга 1,2. М.1998г.
   

2. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. «Теория вероятностей и математическая статистика», «Новое знание», Санкт-Петербург, 2003 й.