Bajardi: Abdullayev Fazliddin, 317-20-guruh talabasi

Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universtiteti

2-mustaqil ish

Bajardi:Abdullayev Fazliddin, 317-20-guruh talabasi

Tekshirdi: Xudazarov Ravshan Saparovich

Toshkent-2021

REJA:

1 Darajali qatorlar haqida ma’lumotlar.

2 Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari.

3 Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchanligi.

4 Koshi teoremasi. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-krtlikgi xossalari.

5 Funksional qator, uning yig’indisi va qatorning tekis yaqinlashuvchiligi.

6 Darajali qator tushunchasi.

7 Koshi-Adamar teoremasi. Funksiyaning Teylor qatori

8 Xulosa.

9 Foydalanilgan adabiyotlar

Funksional ketma-ketlik va limit funksiya tushunchalari.

Aytaylik, har bir natural n songa E ⊂R to’plamda aniqlangan bir f n(x) funksiyani mos qo’yuvchi qoida berilgan bo’lsin. Bu qoidaga ko’ra f 1 (x) , f 2(x) , ... , f n(x),... (1.1.1) to’plam hosil bo’ladi. Uni funksional ketma-ketlik deyiladi. E to’plam (1.1.1) funksional ketma-ketlikning aniqlanish to’plami deyiladi. Odatda, (1.1.1) funksional ketma-ketlik, uning n -hadi yordamida {f n(x)} yoki f n(x) kabi belgilanadi. Masalan, f n(x)= n+1 n+x2 : 2 1+x2 , 3 2+x2 ,..., n+1 n+x2 ,...; un(x)= 1 √n+x , vn(x)=sin x⋅sinnx lar funksional ketma-ketliklar bo’ladi va ularning aniqlanish to’plami mos ravishda

E=R , E=[0,+∞) bo’ladi. Ravshanki, x o’zgaruvchining biror aniqlangan x=x0∈E qiymatda ushbu

{f n(x0)} : f 1(x0), f 2(x0),...,f n(x0) ,... sonlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz. 1.1.1-ta’rif. Agar {f n(x0)} sonli ketma-ketlik yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo’lsa, {f n(x)} funksional ketma-ketlik x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi. x0 nuqta esa bu funksional ketmaketlikning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.

1.1.2-ta’rif. {f n(x)} funksional ketma-ketlikning barcha yaqinlashish nuqtalarida E0⊂E to’plam, {f n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami deyiladi. Masalan, ushbu

f n(x)=xn:x, x2, x3 ,..., xn,... funksional ketma-ketlik aniqlanish to’plami E=R bo’lib, u ∀x∈(−1,1] nuqtada yaqinlashuvchi, x∈R¿¿¿ da uzoqlashuvchi bo’ladi. Demak, ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami E0=(−1,1] bo’ladi. Faraz qilaylik, {f n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish to’plami E0(E0⊂R) bo’lsin. Ravshanki, bu holda har bir x∈E0 da

f 1 (x), f 2(x), ...,f n(x),... ketma-ketlik yaqinlashuvchi, ya’ni

lim n→∞

fn(x)

mavjud bo’ladi. Endi har bir x∈E ga lim n→∞

fn(x)

ni mos qo’ysak, ushbu

f :x→lim n→∞

f n(x)

funksiya hosil bo’ladi. Bu f (x) funksiya {f n(x)} funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi deyiladi:

lim n→∞

f n(x)=f (x) (x∈ E0)

. Bu munosabat quyidagini anglatadi: ixtiyoriy ε>0 son va har bir x∈E0 uchun shunday natural n0=n0(ε , x) son topiladiki, ixtiyoriy n>n0 da |f n(x)−f (x)|<ε , ya’ni

∀ ε>0 , ∃n∘=n0(ε, x)∈N , ∀n>n0 : |f n(x)−f (x)|<ε

bo’ladi. 1.1.1-misol. Ushbu

f n(x)=nsin√x n funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi topilsin. Berilgan funksional ketma-ketlik E=[0,+∞) da aniqlangan. Uning limit funksiyasi

f (x)=lim n→∞

fn(x)=lim n→∞

n sin √x n

=lim n→∞

sin √x n √x n

⋅√x=√x

bo’ladi. Demak, funksional ketma-ketlik E=[0,+∞) da yaqinlashuvchi va

lim n→∞

n sin √x n

=√x

Funksional ketma-ketlikning tekis yaqinlashuvchanligi. Faraz qilaylik, {f n(x)} :

f 1 (x) , f 2(x),...,f n(x),...

funksional ketma-ketlik E∘ to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni yaqinlashish to’plami E0 ) bo’lib, uning limit funksiyasi f (x) bo’lsin:

lim n→∞

f n(x)=f (x)

.

Ma’lumki, bu munosabat

∀ ε>0 , ∃n0=n0(ε, x)∈N , ∀n>n0: |f n(x)−f (x)|<ε

bo’lishini anglatadi. Shuni ta’kidlash lozimki, yuqoridagi natural n0 son ixtiyoriy olingan ε>0 son bilan birga qaralayotgan x∈E0 nuqtaga ham bog’liq bo’ladi (chunki, x∈E0 ning turli qiymatlarida ularga mos ketma-ketlik, umuman aytganda turlicha bo’ladi). 1.1.3-ta’rif. Agar ∀ ε>0 son olinganda ham shu ε>0 bog’liq bo’lgan natural n0=n0(ε) son topilsaki, ∀ n>n0 va ixtiyoriy x∈E0 da

|f n(x)−f (x)|<ε

tengsizlik bajarilsa, ya’ni

∀ ε>0 , ∃n0=n0(ε)∈N , ∀n>n0 , ∀ x∈E0 : |f n(x)−f (x)|<ε

bo’lsa, {f n(x)} funksional ketma-ketlik E0 to’plamda f (x) ga tekis yaqinlashadi (funksional ketma-ketlik E0 to’plamda tekis yaqinlashuvchi) deyiladi. Shunday qilib, {f n(x)} funksional ketma-ketlik E0 to’plamda f (x) limit funksiyaga ega bo’lsa, uning shu limit funksiyasiga yaqinlashish ikki xil bo’lar ekan:

∀ ε>0 , ∃n0=n0(ε, x)∈N ,∀ n>n0 : |f n(x)−f (x)|<ε

bo’lsa, {f n(x)} funksional kema-kelik E0 da f (x) ga yaqinlashadi (oddiy yaqinlashadi).

Koshi teoremasi 1.1.2-teorema {f n(x)} funksional ketma-ketlik E to’plamda limit funksiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun ∀ ε>0 son olinganda ham shunday n0=n0(ε)∈N topilib, ∀n>n0, ∀ p∈N va ∀ x ∈E da |fn+p(x)−fn(x)|<ε , ya’ni ∀ ε>0 , ∃n0=n0(ε)∈ N , ∀n>n0, ∀ p∈ N va ∀ x∈E da |fn+p(x)−fn(x)|<ε (1.1.2) bo’lishi zarur va yetarli. Zarurligi. Aytaylik, E to’plamda {f n(x)} funksional ketma-ketlik limit funksiya f (x) ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

f n(x) → → f (x) . (x∈ E0) tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra ∀ε>0, ∃n0=n0(ε)∈N, ∀k>n0, ∀x∈E:|fk(x)−f (x)|< ε 2 bo’ladi. Xususan, k=n, n>n0 va k=n+p, p∈N da |fn(x)−f (x)|<ε 2 , |fn+p(x)−f (x)|< ε 2 tengsizliklar bajarilib, ulardan |fn+p(x)−fn(x)|=|fn+p(x)−f (x)−(fn(x)−f (x))|≤ ¿|fn+p(x)−f (x)|+|fn(x)− (x)|< ε 2 +ε 2 =ε bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (1.1.2) shart o’rinli. Yetarliligi. {f n(x)} funksional ketma-ketlik uchun (1.1.2) shart bajarilsin. Uni ∀ ε>0, ∃n0=n0(ε )∈N , ∀ n>n0 , ∀ p∈N , ∀ x∈ E da

|fn+p(x)−fn(x)|<ε 2 (1.1.3)

bo’ladi. Ravshanki, tayin x0∈E da {f n(x0)} sonlar ketma-ketligi uchun (1.1.3) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoaemasiga ko’ra {f n(x0)} yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli

lim n→∞

fn(x0)

(1.1.4)

limit mavjud. Modomiki, har bir x∈E da (1.1.4) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval aytganimizdek, E to’plamda aniqlangan

x→lim n→∞

f n (x) (x∈E)

funksiya hosil bo’ladi. Uni f (x) bilan belgilaymiz. Bu funksiya {f n(x)} funksional ketma-ketlikning limit funksiyasi bo’ladi: f n( x)→ f ( x) ( x∈ E) . Endi (1.1.3) tengsizlikda, n va x larni tayinlab (n>n0, x∈E) p→∞ da limitga o’tamiz. Natijada |f (x)−fn(x)|≤ε 2 <ε hosil bo’ladi. Bu

f n(x)→ → f (x) (x ∈E0)

bo’lishini bildiradi. 1.1.4-misol. Ushbu

f n(x)=lnnx √nx funksional ketma-ketlik E=(0,1) to’plamda tekis yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Agar ixtiyoriy k ∈N uchun

n=k , p=k=n , x¿=1 k

=1 n

deyilsa,

|fn+p(x)−f (x)|=|f2n(1 n)−fn(1 n)|=|ln2 √2

−ln1|=ln2 √2

=ε0

bo’ladi. Demak, ∃ε0=ln2 √2 ∀k∈N , ∃n≥k, ∃p∈N , ∃x¿=1 n

∈ (0,1): |fn+p(x¿)−f n(x¿)|≥ε0

. Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini ko’rsatadi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlik E=(0,1) da tekis yaqinlashuvchi emas. Aytaylik, {f n(x)} funksional ketma-ketlik E to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib,   xf funksiya uning limit funksiyasi bo’lsin: f n( x)→ f ( x) ( x ∈E) . Agar ∃ε0>0 , ∀k∈N , ∃n>k , ∃x¿∈E : |fn(x¿)−f (x¿)|≥ε0 bo’lsa, {f n(x)} funksional ketma-ketlik E to’plamda f (x) funksiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.

Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning xossalari. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketliklar qator xossalarga ega. Bu xossalarni keltiramiz. Aytaylik. {f n(x)} :

f 1 (x) , f 2(x),...,f n(x),...

funksional ketma-ketlik E ⊂R to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, f (x) uning limit funksiyasi bo’lsin: f n( x)→ f ( x) ( x∈ E) . 1.1.1-xossa. Agar {f n(x)} funksional ketma-ketlikning har bir f n(x) (n=1,2,3,...) hadi E to’plamda uzluksiz bo’lib,

f n(x) → → f (x) (x ∈E)

bo’lsa, limit funksiya f (x) shu E to’plamda uzluksiz bo’ladi. Demak, bu holda

lim t →x( lim n→∞

f n(t))=lim n→∞( lim t→x

f n(t))

munosabat o’rinli bo’ladi. 1.1.2-xossa. Agar {f n(x)} funksional ketma-ketlikning har bir f n(x) (n=1,2,3,...) hadi E=[a,b] da uzluksiz bo’lib,

f n(x)→ → f (x) (x∈[a,b])

bo’lsa,

lim n→∞

∫ a b

fn(x)dx=∫ a b

f (x)dx

bo’ladi. Demak, bu holda

lim n→∞

∫ a b

fn(x)dx=∫ a b

( lim n→∞

fn(x))dx

munosabat o’rinli bo’ladi.

1.1.3-xossa. Agar {f n(x)} funksional ketma-ketlikning har bir f n(x) (n=1,2,3,...) hadi E=[a,b] da uzluksiz f n ' (x) (n=1,2,3,...) hosilalarga ega bo’lib,

f n ' (x)→ →ϕ (x) (x∈[a,b])

bo’lsa,

ϕ (x)=f '(x)

bo’ladi. Shu kabi xossalarga keyinroq o’rganiladigan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar ham ega bo’ladi. Ayni paytda, ular bir mulohaza asosida isbotlanadi Mazkur xossalarning isbotini funksional qatorlarga nisbatan keltiramiz.

Funksional qator va uning yig’indisi. Faraz qilaylik, E ⊂R to’plamda aniqlangan

u1(x) , u2(x) , … , un(x) , … funksional ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Bu kema-kelik hadlari yordamida tuzilgan quyidagi

u1( x)+u2( x)+ … +un (x)+ …

ifoda funksional qator deyiladi va

∑ n=1 ∞

un(x)

kabi belgilanadi:

∑ n=1 ∞

un(x)=u1(x)+u2(x)+ … +un(x)+ …

. (1.1.5) Bunda E funksional qatorning aniqlanish to’plami deyiladi. Masalan,

1)

∑ n=1 ∞

xn−1=1+x+x2+⋯+xn−1+ ⋯

,

2)

∑ n=1 ∞

nenx=ex+2e2x+3e3x+ ⋯+nenx+⋯

funksional qatorlar bo’lib, ularning aniqlanish to’plami E=(−∞ , +∞) bo’ladi. (1.1.5) funksional qator hadlaridan ushbu S1(x)=u1(x) , S2(x)=u1(x)+u2(x), ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ Sn(x)=u1(x)+u2(x)+⋯+un(x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (1.1.6) yig’indilarni tuzamiz. Ular (1.1.5) funksional qatorning qismiy yig’indilari deyiladi. Demak, (1.1.5) funksional qator berilgan holda har doim bu qatorning (1.1.6) qismiy yig’indilaridan iborat {Sn (x)}:

S1(x) , S2(x) , … , Sn(x) , … funksional ketma-ketlik hosil bo’ladi. Ravshanki, x=x0∈E nuqtada {Sn(x0)} sonlar ketma-ketligi bo’ladi.

1.1.4-ta’rif. Agar {Sn(x0)} yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo’lsa,

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi, x0 nuqta funksional qatorning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deyiladi.

1.1.5-ta’rif.

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qatorning barcha yaqinlashish nuqtalaridan

iborat E0⊂E to’plam,

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qatorning yaqinlashish to’plami

deyiladi. Bu holda

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E0 to’plamda yaqinlashuvchi ham deb

yuritiladi. Agar E0 to’plamda ushbu ∑ n=1 ∞ |un(x)|=|u1(x)|+|u2(x)|+ ⋯+|un(x)|+ ⋯

qator yaqinlashuvchi bo’lsa,

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E0 da absolyut

yaqinlashuvchi deyiladi.

1.1.6-ta’rif.

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qatorning qismiy yig’indilaridan iborat {Sn (x)} ketma-ketlikning limit funksiyasi S(x) :

Sn ( x )→S ( x ) (x∈ E0)

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator yig’indisi deyiladi.

∑ n=1 ∞ un(x)=S(x) (x∈E0)

kabi yoziladi.

1.1.5-misol. Ushbu

∑ n=1 ∞

xn−1=1+x+x2+⋯+xn−1+ ⋯

funksional qatorning yaqinlashish to’plami va yig’indisi topilsin.

Berilgan funksional qatorning aniqlanish to’plami E=R bo’ladi. Qatorning qismiy yig’indisini topamiz: Sn(x)=1+x+x2+⋯+xn−1=¿{1−xn 1−x , agar х≠1¿¿¿¿ Ravshanki, n → ∞ da Sn(x) ning limit x ga bog’liq bo’ladi: а) x∈(−1 , 1) da

lim n→∞

Sn(x)=lim n→∞( 1 1−x

− xn 1−x)= 1 1−x ;

b) x∈[1 , +∞) da

lim n→∞

Sn(x)=∞

;

d) x∈(−∞ ,−1] da

lim n→∞

Sn(x)

mavjud emas.

Demak, berilgan funksional qatorning yaqinlashish to’plami E0=(−1 , 1) bo’lib, yig’indisi

S(x)= 1 1−x

bo’ladi.

Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi.

Aytaylik,

∑ n=1 ∞

un(x)=u1(x)+u2(x)+ … +un(x)+ …

funksional qator E0 to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni qatorning yaqinlashish to’plami E0 ) bo’lib, yig’indisi S(x) bo’lsin: Sn ( x )→S ( x ) (x∈ E0) (1.1.7) bunda, Sn( x)=u1( x)+u2( x)+ ⋯ +un( x) . munosabat

∀ ε>0 , ∀ x∈E0 , ∃ n0=n0(ε , x)∈N , ∀ n>n0 : |Sn(x)−S(x)|<ε bo’lishini anglatadi. 1.1.7-ta’rif. Agar E0 to’plamda

Sn(x)→ → S(x) , (x ∈E0)

ya’ni

∀ ε>0 , ∃ n0=n0(ε)∈N , ∀ n>n0 , ∀ x∈E0 : |Sn(x)−S(x)|<ε

bo’lsa,

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E0 to’plamda tekis yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar

rn(x)=S(x)−Sn (x) , deyilsa, funksional qatorning E0 to’plamda tekis yaqinlashuvchiligini quyidagicha

rn(x)→ → 0 (x ∈E0) ,

ya’ni

∀ ε>0 , ∃ n0=n0(ε)∈N , ∀ n>n0 ∀ x∈E0 : |rn(x)|<ε ko’rinishda ta’riflash mumkin bo’ladi. Shunday qilib

∑ n=1 ∞

un(x)=u1(x)+u2(x)+ … +un(x)+ …

funksional qator, uning qismiy yig’indisi

Sn( x)=u1( x)+u2( x)+ ⋯ +un( x)

va yig’indisi S(x) uchun

Sn ( x )→S ( x) ( x∈ E0)

bo’lsa, funksional qator E0 da yaqinlashuvchi,

Sn(x) → → S (x) (x∈ E0)

bo’lsa, funksional qator E0 da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

1.1.3-teoaema.

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E0 da qator yig’indisi S(x) funksiyaga tekis yaqinlashishi uchun

lim n→∞

sup x∈E0

|Sn(x)−S(x)|=0

,

ya’ni

lim n→∞

sup x∈E0 |rn(x)|=0

bo’lishi zarur va yetarli. 1.1.6-misol. Ushbu

∑ n=1 ∞ 1 (x+n)(x+n+1)

funksional qatorning [0 ,+∞) da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi isbotlansin. Berilgan funksional qatorning qismiy yig’indisini hisoblab, so’ng yig’indisini

topamiz:

Sn(x)=1 (x+1)(x+2)

+1 (x+2)(x+3)

+⋯+1 (x+n)(x+n+1)

=

¿(1 x+1

−1 x+2)+(1 x+2

−1 x+3)+⋯+(1 x+n

−1 x+n+1)=

¿1 x+1

−1 x+n+1

,

lim n→∞

Sn(x)=lim n→∞( 1 x+1

− 1 x+n+1)= 1 x+1

.

Demak,

S(x)= 1 x+1 .

Unda

Sn(x)−S(x)= 1 x+1

− 1 x+n+1

− 1 x+1

=− 1 x+n+1

bo’lib,

sup x∈[0 ,+∞) |Sn(x)−S(x)|= 1 n+1

bo’ladi. Keyingi tenglikdan

lim n→∞

sup x∈[0 ,+∞) |Sn(x)−S(x)|=0

bo’lishi kelib chiqadi. 1-teoremaga ko’ra berilgan funksional qator [0 ,+∞) da tekis yaqinlashuvchi. Eslatma. Agar

lim n→∞

sup x∈E0

|Sn(x)−S(x)|≠0

bo’lsa,

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E0 da tekis yaqinlashuvchi bo’lish shart

emas: Masalan,

∑ n=1 ∞

xn−1=1+x+x2+⋯+xn−1+ ⋯

funksional qatorning (−1 , 1) da yaqinlashuvchi, yig’indisi S(x)= 1 1−x bo’lishini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun

lim n→∞

sup −1sup −1

|=+∞

bo’ladi. Demak, funksional qator (−1 , 1) da tekis yaqinlashuvchi emas. Faraz qilaylik, ∑ n=1 ∞ un(x)=u1(x)+u2(x)+ … +un(x)+ … funksional qator E ⊂R to’plamda berilgan bo’lsin.

1.1.4-teorema (Koshi).

∑ n=1 ∞

un(x)

funksional qator E to’plamda tekis

yaqinlashuvchi bo’lishi uchun ∀ ε>0 , ∃ n0=n0(ε)∈ N , ∀ n>n0 , ∀ p∈N , ∀ x∈E da |Sn+p(x)−Sn(x)|=|un+1(x)+un+2(x)+⋯+un+p(x)|<ε bo’lishi zarur va yetarli.

Darajali qator tushunchasi.

Har bir hadi

un(t )=an(t−t0)n (t0 ∈R; n=0,1,2...) funksiyadan iborat bo’lgan ushbu ∑ n=0 ∞ an(t−t0)n=a0+a1(t−t0)+a2(t−t0)2+... (1.1.14) funksional qator darajali qator deyiladi, bunda

a0, a1, ..., an,... haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffisientlari deyiladi. (1.1.14) da t−t0=x deyilsa, u quyidagi ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (x∈R)

(1.1.15)

ko’rinishga keladi va biz shu ko’rinishdagi darajali qatorlarni o’rganamiz. Ravshanki, (1.1.15) qatorning qismiy yig’indisi

Sn(x)=a0+a1 x+a2 x2+...+an xn

ko’phaddan iborat. Ayni paytda, x=0 da Sn(0)=a0 bo’ladi. Demak, har qanday (1.1.15) ko’rinishdagi darajali qator x=0 nuqtada yaqinlashuvchi bo’ladi.

Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Faraz qilaylik, ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... darajali qator berilgan bo’lsin. Bu qatorning yaqinlashish yoki uzoqlashish nuqtalari haqida quyidagi uch hol bo’lishi mumkin: 1) barcha musbat sonlar qatorning yaqinlashish nuqtalari bo’ladi; 2) barcha musbat sonlar qatorning uzoqlashish nuqtalari bo’ladi; 3) shunday musbat sonlar borki, ular qatorning yaqinlashish nuqtalari bo’ladi, shunday musbat sonlar borki, ular qatorning uzoqlashish nuqtalari bo’ladi. Birinchi holda, Abel teoremasiga ko’ra darajali qator barcha x∈R da yaqinlashuvchi bo’lib, darajali qatorning yaqinlashish to’plami E=(−∞,+∞) bo’ladi. Bunday qatorga ushbu

∑ n=0 ∞ 1 n!

xn=1+x+ 1 2!

x2+....+ 1 n!

xn+..

darajali qator misol bo’ladi. Ikkinchi holda, Abel teoremasining natijasiga ko’ra darajali qator barcha x∈R¿{0¿} da uzoqlashuvchi bo’lib, uning yaqinlashish to’plami E={0} bo’ladi. Bunday qatorga ushbu ∑ n=1 ∞ n!xn=x+2!x2+3!x3+...+n!xn+... darajali qator misol bo’la oladi. Endi uchinchi holni qaraymiz. Bu holga ushbu ∑ n=0 ∞ xn=1+x+x2+...+xn+... darajali qator misol bo’ladi. Bu darajali qator barcha x∈(0,1) da yaqinlashuvchi va demak, Abel teoremasiga ko’ra qator (−1,1) da yaqinlashadi, barcha x∈[1, +∞) da qator uzoqlashuvchi va demak, Abel teoremasining natijasiga ko’ra qator

(−∞,−1]∪[1, +∞) da uzoqlashadi. Demak, darajali qatorning yaqinlashish to’plami E=(−1, 1) bo’ladi.

Aytaylik,

∑ n=0 ∞

anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

darajali qator r1 nuqada (r1>0) yaqinlashuvchi, R1 nuqtada (R1>0) nuqtada esa uzoqlashuvchi bo’lsin. Ravshanki,

r1bo’ladi.

Agar

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qator

r1+R1 2

nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa,

r2=

r1+R1 2

, R2=R1

deb, uzoqlashuvchi bo’lsa,

r2=r1, R2=

r1+R1 2 deb r2 va R2 nuqtalarni olamiz. Ravshanki,

r1≤r2, R1≥R2 va

R2−r2=

R1−r1 2

bo’ladi. Bu munosatbadagi r2 va R2 sonlarga ko’ra r3 va R3 sonlarni yuqoridagiga o’xshash aniqlaymiz:

Agar

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qator

r1+R1 2

nuqtada yaqinlashuvchi bo’lsa,

r3=

r2+R2 2

, R3=R2

deb, uzoqlashuvchi bo’lsa,

r3=r2, R3=

r2+R2 2

deb r3 va R3 nuqtalarni olamiz. Bunda

r2≤r3, R2≥R3 va

R3−r3=

R1−r1 22

bo’ladi.

Bu jarayonni davom ettira borish natijasida

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish nuqtalaridan iborat {rn} , uzoqlashish nuqtalaridan iborat {Rn} ketmaketliklar hosil bo’ladi. Bunda

r1≤r2≤...≤rn≤..., R1≥R2≥...≥Rn≥...,

va n → ∞ da

Rn−rn=

R1−r1 2n−1

→0

bo’ladi.

lim n→∞

rn

va

lim n→∞

Rn

limitlar mavjud va

lim n→∞

rn=lim n→∞

Rn

bo’ladi. Uni r bilan belgilaymiz:

lim n→∞

rn=lim n→∞

Rn=r

. Endi x o’zgaruvchining |x|

lim n→∞

rn=r

bo’lishidan, shunday n0∈N topiladiki,

|x|r tenglikni qanoatlaniruvchi ixtiyoriy qiymatini olaylik. Unda

lim n→∞

Rn=r

bo’lishidan, shunday n1∈N topiladiki,

|x|>Rn1>r bo’ladi. Binobarin, berilgan darajali qator Rn1 nuqtada, demak qaralayotgan x nuqtada uzoqlashuvchi bo’ladi.

Demak,

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qator uchun shunday musbat r soni mavjud bo’ladiki, |x|r , ya’ni ∀ x∈(−∞,− r)∪(r, +∞) da qator uzoqlashuvchi bo’ladi. x=±r nuqtalarda ∑ n=0 ∞ anxn darajali qator yaqinlashuvchi ham bo’lishi mumkin, uzoqlashuvchi ham bo’lishi mumkin.

1.1.7-ta’rif. Yuqorida keltirilgan r son

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish radiusi, (−r, r) interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi. Eslatma. 1)-holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi r =+∞ deb, darajali qatorning yaqinlashish radiusi r=0 deb olinadi.

Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish.

Biror

∑ n=0 ∞

anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

darajali qatorni qaraylik. Bu qator koeffisientlaridan tuzilgan {an} (n=0,1,2,....) ketma-ketlik uchun 1) ∀n≥0 da an≠0 ,

2)

lim n→∞

|

an an+1

|

mavjud bo’lsin. U holda

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish

radiusi

r=lim n→∞ |

an an+1

|

bo’ladi.

Koshi-Adamar teoremasi

1.1.8-teorema Ushbu ∑ n=0 ∞ anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+... darajali qatorning yaqinlashish radiusi

r= 1 lim n→∞ n √|an|

(1.1.16)

bo’ladi. Eslatma. Agar

lim n→∞

n √|an|=+∞

bo’lsa,

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish radiusi r=0 deb,

lim n→∞

n √|an|=0

bo’lsa,

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish radiusi r =+∞ deb olinadi.

Darajali qatorning tekis yaqinlashishi.

Aytaylik, ushbu

∑ n=0 ∞

anxn=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...

(1.1.17)

darajali qatorning yaqinlashish radiusi r>0 bo’lsin. 1.1.9-teorema. (1.1.17) darajali qator [α ,β ]⊂(−r,r) da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, bunda α∈R , β∈R . Ravshanki, (1.1.17) darajali qator (−r,r) da absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi. Aytaylik, α∈(0,r) bo’lsin. Unda ∀n≥0 va ∀ x∈[−α,α] da |anxn|≤|anαn|

bo’lganligi uchun, Veyershtrass alomatiga ko’ra (1.1.17) qator [−α, α] da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.

Demak,

∑ n=0 ∞

anxn

darajali qatorning yaqinlashish radiusi r>0 bo’lsa, yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra bu qator [−c,c]⊂(−r,r) da (c>0) tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bunda c sonni r songa har qancha yaqin qilib olish mumkin bo’lsada, qator (−r,r) da tekis yaqinlashmasdan qolishi mumkin. Masalan, ushbu ∑ n=0 ∞ xn=1+x+x2+...+xn+...

darajali qatorning yaqinlashish radiusi r=1 , biroq qator (−1,1) da tekis yaqinlashuvchi emas.

Funksiyaning Teylor qatori. Aytaylik, f (x) funksiya x0∈R nuqtaning biror

Uδ ( x0)={x∈ R : x0−δ0}

atrofida istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lsin. Bu hol f (x) funksiyaning teylor formulasini yozish imkonini beradi:

f (x)=f (x0)+

f '(x0) 1! (x−x0)+

f ''(x0) 2! (x−x0)2+...+

f (n)(x0) n! (x−x0)n+rn(x) ,

bunda rn(x) -qoldiq had. Modomiki, f (x) funksiya Uδ(x0) da istalgan tartibdagi hosilaga ega ekan, unda

lim n→∞

max a≤x ≤b |Bn(f ; x −a b−a)−f ( x )|=0 (1.1.18) darajali qatorni qarash mumkin bo’ladi. (1.1.18) darajali qatorning koeffisientlari sonlar bo’lib, ular f (x) funksiya va uning hosilalarining x0 nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan. (1.1.18) darajali qator f (x) funksiyaning teylor qatori deyiladi. Xususan, x0=0 bo’lganda (1.1.18) darajali qator ushbu f (0)+ f '(0) 1! x+ f ''(0) 2! x2+...+f(n)(0) n! xn+...=∑ n=1 ∞ f(n)(0) n! xn ko’rinishga keladi. Faraz qilaylik, f (x) funksiya biror (−r, r) da (r>0) istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib, uning x0=0 nuqtadagi teylor qatori

f (0)+ f '(0) 1!

x+ f ''(0) 2!

x2+...+f(n)(0) n!

xn+...

(1.1.19)

bo’lsin. Bu qatorning qoldiq hadini rn(x) deylik:

f (0)+ f '(0) 1!

x+ f ''(0) 2!

x2+...+f(n)(0) n!

xn+rn(x)

. Odatda, bu munosabat o’rinli bo’lsa, f (x) funksiya teylor qatoriga yoyilgan deyiladi. Funksiyani teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, f (x) funksiya biror (−r, r) da istalgan tartibdagi hosilalarga ega bo’lsin. 1.1.11-teorema. Agar ∃M>0 , ∀ x∈(−r, r), ∀n≥0 da |f(n)(x)|≤M

bo’lsa, f (x) funksiya (−r, r) da teylor qatoriga yoyiladi:

f (x)=∑ n=0 ∞ f(n)(0) n!

= f (0)+f '(0) 1!

x+f ''(0) 2!

x2+...

f(0) (n) n!

xn+...

(1.1.20) Ma’lumki, f (x) funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli teylor formulasi quyidagicha bo’ladi:

f (x)=f (0)+f '(0) 1!

x+f ''(0) 2!

x2+...

f(0) (n) n!

xn+rn(x)

,

bunda,

rn(x)=f (n)(θ x) (n+1) !

xn+1 . (0<θ<1)

.

teoremaning shartidan foydalanib topamiz: |rn(x)|=|f(n)(θ x) (n+1) ! xn+1|≤M⋅ rn+1 (n+1) !

. (x∈(−r, r))

.

Ravshanki,

lim n→∞

rn+1 (n+1) !

=0

.

XULOSA: Ushu kurs ishda men oddiy differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullarini o’rganishga harakat qildim. Algoritmlar, ulardan foydalanishni va ishlab chiqilgan algoritmlar yordamida dasturlar tuzishni o’rgandim.

Bu kurs ishimni tayyorlash jarayonida men o’zim uchun bilgan bilmaganlarimni o’rgandim, va men o’rganishim kerak bo’lgan qirralari ko’pligini angladim. Endi kelajakda bu o’rganganlarim o’zimning mehnat faolyatimda juda katta samara beradi va asqotadi.

Birinchi tartibli oddiy defferensial tenglamalarni mavjud bo'lgan yechish usullari va sonli yechish usullarini ishlab chiqish o'rgandim.

Ishlab chiqilgan usullarga asoslangan hisoblash algoritmini tuzdim.

Olingan taqribiy yechimlarni xatoliklari nazariy xatoliklar bilan taqqoslab, shu taqqoslash asosida tahlil qildim.

 

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.

1.Azlarov T. Mansurov H. Matematik analiz, 2-tom, Toshkent “O’zbekiston”, 1994,1995 2.Saloxiddinov M.S. Nasriddinov G.N oddiy differensial tenglamalar. Toshkent,”O’zbekiston”,1994. 3.Богданов Ю.С. Лекции по дифференциальным уравнениям. Минск, “Высшая школа”, 1977. 4.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М Наука,1987.