Avvalo ko‘paytirish qoidasini quyidagi misol orqali tushintiraylik

Gruppalashlar. to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu elementli to‘plamning elementlaridan ta elemetga ega qism to‘plamlarni shunday tashkil etamizki, ular bir-biridan elementlarining joylashish tartibi bilan emas, faqat tarkibi bilan farq qilsinlar. Bunday ta elementli qism to‘plamlarning har biriga ta elementdan tadan gruppalash deb ataladi.

ta elementdan tadan gruppalashlar sonini bilan belgilaymiz.

Bu yerda qaralayotgan gruppalash tarkibida elementlarning takrorlanmasligini eslatib o‘tamiz.

Bir elementli to‘plam uchun faqat bitta gruppalash mavjud, u ham bo‘lsa bir elementlidir: . Demak, .

Ikki elementli { to‘plam uchun bittadan gruppalashlar ikkita ( va ), ikkitadan gruppalashlar esa faqat bitta ( ). Demak, , .

Uch (n=3) elementli to‘plam uchun gruppalashlar: bittadan – , va (uchta); ikkitadan – , , (uchta); uchtadan – (faqat bitta). Demak, , , .

To‘rtta ( ) elementdan tashkil topgan to‘plam elementlaridan tuzilgan gruppalashlar: bittadan – , va (to‘rtta); ikkitadan – , , , , , (oltita); uchtadan – , , , (to‘rtta); to‘rttadan (faqat bitta). Demak, , , , .

Yuqoridagi mulsohazalar gruppalashlar sonini hisoblash formulasi qanday bo‘lishiga to‘liq oydinlik kiritmasada, dastlabki tahlil uchun muhimdir. Masalan, ta elementdan barcha elementlarni o‘z ichiga oladigan faqat bitta gruppalash tashkil etish mumkin degan yoki ta elementdan bittadan ta gruppalash bor degan xulosalar ustida o‘ylab ko‘rish mumkin.

sonni hisoblash uchun formula topish maqsadida quyidagicha mulohaza yuritamiz. Ravshanki, agar ta elementdan tadan barcha gruppalashlarning har birida elementlarning o‘rinlari imkoniyat boricha almashtirilsa, natijada ta elementdan tadan barcha o‘rinlashtirishlar hosil bo‘ladi. Bu yerda ta elementdan tadan tuzilgan ta gruppalashning har biridagi ta elementdan ta o‘rin almashtirishlar hosil qilish mumkin bo‘lganligi tufayli, ko‘paytirish qoidasiga asosan, tenglik to‘g‘ridir. Demak,

formula o‘rinlidir. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.