Asimptota

Algebraik irratsionalliklarni integrallash. 

---

Har qanday irratsional funksiyadan olingan integral elementar funksiyalar orqali 
ifodalanavermaydi. Bu va bundan keyingi paragraflarda integrallari o’zgaruvchilari 
almashtirish yordami bilan ratsional funksiyalarni qaraymiz, demak , bunday 
funksiyalar oxirgacha integrallanadi. 
I 
dx integralni qaraymiz, bunda R-o’z argumentlariga nisbatan 
ratsional funksiya . 
II Endi 
ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral 
almashtirish yordami bilan ratsional funksiyaning integraliga keltiriladi; 
bunda k bilan
kasrlarning umumiy maxraji belgilanadi. 
Aniqmas integral. 
Agar F(x) funksiya f(x) funksiya uchun boshlang’ich bo’lsa F(x)+C ifoda f(x)
funksiyadan aniqmas integral deb ataladi va ushbu 
simvol bilan
belgilanadi shunday qilib aniqmas integral y=F’(x)+C funksiyalar to’plamidan iborat 
agar f(x) funksiya 
kesmada uzluksiz bo’lsa, bu funksiya uchun boshlang’ich
funksiya (demak, aniqmas integral) mavjud bo’ladi. 
Bernulli tenglamasi. 
Ushbu
y’+p(x)y=Q(x)
(1) 
differsial tenglama (bundan=const
shunindek biror algebraic
almashtirishlar yordamida (1) ko’rinishga keltiriladigan istalgan tenglama Bernulli 
tenglamasi deyiladi. 
z(x) yangi funksiyani z=
formula yordamida almashtirilsa , u holda Bernulli 
tenglamasi shu funksiyaga nisbatan chiziqli tenglamaga keltiriladi: 

---

z’+(1-n)p(x)z=(1-n)Q(x) (2) 
Yuqoridagi usullardan foydalanib (2) tenglamaning z=z(x,c) yechimini topamiz
so’ngra y=
topiladi. 
Bernulli tenglamasining yechimini y=u(x)v(x) Bernulli almashtirishi yordamida ham 
topish mumkin. 
Birinchi tartibli differsial tenglamalar. 
No’malum y funksiya va uning y’ hosilaga nisbatan. 
y’+p(x)(y)=Q(x) (1) 
ko’rinishdagi tenglma shuningdek algebraik almashtirishlar yordamida (1) 
ko’rinishga keltiriladigan tenglama birinchi tartibli chiziqli bir jinislimas differensial 
tenglama deyiladi p(x)
funksiyalar biror sohada uzluksiz bo’lishi 
kerak. Masalan [a;b] kesmada Koshi teoremasining sharti bajarilsin (1) tenglamaning 
umumiy yechimini har doim quyidagi ko'rinishga yozish mumkin. 
y=
(2) 
bunda C-ixtiyoriy o’zgarmas. 
Shunday qilib (1) tenglamaning umumiy yechimi ma’lum bo’lgan p(x), Q(x) 
funksiyalarning integrallari orqali ifodalanadi. 
Agar (1) tenglamada Q(x) =0 yoki p(x) =0 bo’lsa, u holda o’zgaruvchilarga nisbatan 
ajraladigan differensial tenglama hosil qilamiz va uning umumiy yechimini mos 
ravishda (1) tenglamada Q(x)=0 yoki p(x)=0 deb aniqlaymiz Q(x)=0 bo’lgan holda 
(1) tenglama chiziqli bir jinsli differensial tenglamaga aylanadi.