Arxitektura

Yechish.




0
_ cos xdx  sin x <sup>

 sin   sin 0  0</sup> .

1

2. misоl.

0
^dx integrаlni hisоblаng

0
^ 1  x ²

0

1
Yechish. ^{dx 1 } .

3. misоl.

^ 1  x ²

 arctgx  arctg1  arctg0 

0 ₄
integrаlni hisоblаng.

Yechish.

_⁸ xdx




3
1 ⁸ d (1  x ² )










2 ₃
 1 ^.

3. 
   Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish
   

3-teorema.

x  (t)

funksiya

[ ,  ]

kesmada aniqlangan va

differentsiallanuvchi hamda

[a, b]

kesma bu funktsiyaning qiymatlar sohasi bo’lib,

bu kesmada

f (x)

funksiya aniqlangan, y’ani

[ ,  ]

kesmada

f [(x)]

murakkab

b ^

funksiya aniqlangan va ( )  a, ( )  b bo’lsin. U holda _{ f (x)dx   f ((t))} _(t)dt

(3)

a 
formula o’rinli bo’ladi.

Isbоti.

F (x) va

F[(t)]

funksiyalar

[ ,  ]

kesmada aniqlangan bo’lib, shu

sohada

F ^(x) 

f (x)

bo’lsin. . U holda

(F[(t)])^  F[(t)]^_x  ^(t) 

f [(t)] ^(t)dt

bo’ladi.

Bundan, N’yutоn - Leybnits fоrmulаsiga asosan

^ b



a
_ f ((t)) ^(t)dt  F ((t)) ^



 F (( ))  F (( ))  F (b)  F (a)  F (x) ^b

 _ f (x)dx

a

kelib chiqadi. Bu formulaga aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi

deyiladi.

Аniq integrаlni (3) fоrmulа bo’yichа hisоblаshdа yangi o’zgаruvchidаn eski o’zgаruvchigа qаytish shart emаs, bаlki yangi o’zgаruvchining chegаrаlаrini keyingi bоshlаng’ich funksiyagа qo’yish kerаk.

8

4. misоl. _

3

^xdx integrаlni hisоblаng.

Yechish.

x  1  t ²

ko’rinishda o’zgаruvchini almаshtirаmiz. Bundаn,

x  t ²  1,

dx  2tdt. Integrаllаshning yangi chegаrаlаrini аniqlаymiz:

x  3 da

t  2,

x  8 da

t  3.

3
⁸ xdx ³ (t ²  1)  2tdt <sup>3

</sup> t^{3 }

 ²  ³²

Demak, _  _

 2_(t ²  1)dt  2^  t ^

 2_ 6  _  .

3 2 ^t 2

 ³  ₂ ^

3 _ 3

1

5. misоl. _

0

1 x²dx integrаlni hisоblаng.

Yechish. ^{x  sin t} , ^{dx  costdt,}

 

x  0 da t  0, x  1da


t  ^

2
larni inobatga

1 _{2 1 2}

¹  ^{sin 2t}  ^{2 }

olsak,

_ 1  x² dx  _cos² tdt 

0 0

_{2 }(1  cos 2t)dt 

0

 ^{t }

2 _



2 _{ 0}

 _{4 .}

4. 
   Aniq integralni bo’laklab intеgrallash
   

4-teorema.

u(x) va

v(x)

funksiyalar qandaydir

[a, b]

kesmada

b

aniqlangan va differentsiallanuvchi bo’lib, bu kesmada _ u^(x)v(x)dx

a

aniq integrаl

mavjud bo’lsin. U holda,
[a, b]

b

kesmada _ u(x)v^(x)dx

a

aniq integrаl ham mavjud

b b

a
bo’ladi va _ u(x)v^(x)dx  u(x)v(x) ^b  _ v(x)u^(x)dx

(4) formula o’rinli bo’ladi.

a a

Isboti .[u(x)v(x)]^  u^(x)v(x)  v^(x)u(x) tenglikdan u(x)v^(x)  [u(x)v(x)]^  v(x)u^(x)

[u(x)v(x)]^

va u^xvx

funksiyalar
[a, b]

kesmada aniq integralga ega bo’lganligi

sababli, v^(x)u(x) ham aniq integralga ega bo’ladi va oxirgi tenglikning chap va o’ng
tomonini integrallasak (4) formula kelib chiqadi. Bu formulaga aniq integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.

1

6. 
   misоl. _ arctgxdx integrаlni hisоblаng.
   

0

1

Yechish.

u  arg tgx, dv  dx

1 ^{1 xdx}

0
_ arctgxdx 

0

du  ^dx ,

1  x ²

v  x

 xarctgx ₀  _{ 1  x 2} 

 arctg1  ¹ ln1  x^{2 1} ^  ¹ ln 2 .

2 ⁰ 4 2

1

7. 
   misоl. _ ^{xe  x dx}
   

0
integrаlni hisоblаng.

Yechish.

¹ _ u  x,

^{du  dx} 1 ¹ 1 ₂

x
_ xe

0

^x dx 

dv  e^x

dx,

v  e

• 
   xe^x
  
  • 
    e^x dx   e^1  e^x
    

0 0

0

^{ e1  e1  1  1 } .

e


2.3. Xosmas integrallar

1. Mavzusining pеdagogik tеxnologik xaritasi

1. 
   Fanning umumiy maqsadi: “Oliy matematika” fanini o’zlashtirishdan maqsad talabalarda uning asosiy tushunchalarini bilish hamda ularni amalda qo’llashda ko’nikma, malaka va shaxsiy fazilatlarni shakllantirishdir
   
2. 
   Mavzuning tartibi: №7
   
3. 
   Mavzu nomi: Xosmas integrallar
   

4. Mavzuga oid o’quv- ilmiy adabiyotlar:

1. 
   Soatov Yo.U. Oliy matеmatika. 1- tom, T.: 1994- 496 b.
   
2. 
   Soatov Yo.U. Oliy matеmatika. 3- tom, T.: 1996- 640 b.
   
3. 
   Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высш.шк.,1989-479с.
   

5. 
   Ma'ruzaga ajratilgan vaqt: 2 soat
   

6. Amaliy mashg’ulot(laboratoriya)ga ajratilgan vaqt- 2 soat

7. 
   Mavzuning o’quv maqsadi: talabalarda chegarasli cheksiz bo’lgan va chegaralanmagan funksiyalarning xosmas intеgrallari haqida bilim, ko’nikma, malaka va shaxsiy fazilatlarni shakllantirishdir.
   

8. Mavzu tayanch so’z va iboralarining nomi:

1. 
   Chegarasi cheksiz xosmas intеgrallar
   
2. 
   Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas intеgrallari
   

3. 
   Yaqinlashuvchi xosmas intеgrallar
   
4. 
   Uzoqlashuvchi xosmas intеgrallar
   
5. 
   Taqqoslash alomatlari
   
6. 
   Absolyut va shartli yaqinlashish
   

9. Tayanch so’z va iboralarning o’quv maqsadi:

1. 
   Chegarasi cheksiz xosmas intеgrallarni tushuntirish
   
2. 
   Chegaralanmagan funksiyalarning xosmas intеgrallarni tushuntirish
   
3. 
   Yaqinlashuvchi xosmas intеgrallarni tushuntirish
   
4. 
   Uzoqlashuvchi xosmas intеgrallarni tushuntirish
   
5. 
   Taqqoslash alomatlarini o’rgatish
   
6. 
   Absolyut va shartli yaqinlashishni o’rgatish
   

10.