Arnawli bilimlendiriw ministrligi

§.3. Avtonomiyalı sistemalardıń

fazalıq traektoriyaları

Meyli y =φ(x) funkciyası (3) avtonomiyalı sistemanıń I intervalda anıqlanǵan sheshimi bolsın. Sonda y =φ(x) , x I noqatlar kópligi keńisliginde iymek sızıq yáki sızıq boladı. Haqıyqatında da,



x I – bul iymek sızıqtıń parametrlik teńlemesi. Bul iymek sızıq yáki sızıq (3) avtonomiyalı sistemanıń fazalıq traektoriyası yáki traektoriyası dep ataladı. Al fazalıq traektoriyalar jaylasqan keńisligi (3) avtonomiyalı sistemanıń fazalıq keńisligi dep ataladı. n=2 bolǵanda fazalıq tegislik dep ataladı.

(3) sistemanıń integrallıq iymek sızıqları koordinataları bolǵan (n+1) – ólshemli keńsliginde súwretlenedi. Eger y =φ(x) funkciyası sistemanıń heshimi bolsa, onda integrallı iymek sızıq y =φ(x), t=t , x I teńlemeler menen beriledi. Demek, oǵan sáykes keletuǵın fazalıq traektoriya integrallıq iymek sızıqtıń fazalıq keńislikke proekciyası boladı.

M áselen, = f_i (y₁,y₂), (i = 1,2) sisteması ushın integrallıq iymek sızıq hám fazalıq traektoriya arasındaǵı sáykeslikti kórsetpeli túrde keńisliktegi integrallıq

iymek sızıqtıń fazalıq tegislikke

proekciyası sıpatında ańlatıw múmkin.



Tómendegi tastıyıqlaw orınlı.

1- teorema. (3) avtonomiyalı sitemanıń hár qanday fazalıq traektoriyası tómendegi úsh tiptiń birewine tiyisli boladı:

1) óz-ara kesilispeytuǵın tegis iymek sızıq;

2) tuyıq tegis iymek sızıq(cikl);

3) noqat.

Eger y=φ(x) sheshimge sáykes keletuǵın fazalıq traektoriya tegis tuyıq iymek sızıq bolsa, onda bul sheshim x ógeriwshiniń periodi T>0 bolǵan periodlı funkciya boladı.

Dálillew. Eger fazalıq traektoriyası teń salmaqlılıqtan parıqlansa, bul sızıq 6- qásiyetke kóre tegis iymek sızıq boladı hám ya tuyıq boladı, yáki tuyıq bolmaydı. 𝑦 = 𝜑(𝑡) sheshimine saykes keletuǵın tuyıq traektoriyasın G menen belgileyik. Bul sheshim periodlıq ekenin dálilleymiz. Qálegen a G di qaraymız. 1-qásiyetke kóre 𝑎 = 𝜑(0) dep alınsa boladı. Usı traektoriyanıń elementar doǵa uzınlıǵı tómendegishe tabıladı:

𝑑𝑠 = |𝑑𝑥| = 𝑑𝑡 = |𝑓(𝜑(𝑡))|𝑑𝑡. (4)

(4) 𝑓(𝜑(𝑡)) funkciya 𝐺 da tómennen hám joqarıdan shegaralanǵan, sebebi 𝐺 –noqatlardıń shegaralanǵan toplamı dep qaralıwı múmkin, yaǵniy

0 < 𝑚 ≤ |𝑓(𝑦)| ≤≤ 𝑀 < ∞, 𝑦 ∈ 𝐺

Endi (4) den t ǵa shekem integrallaymız hám tiyisli doǵa uzınlıǵın 𝑙(𝑡) dep belgileymiz:

𝑙(𝑡) =

Bunnan

𝑙(𝑡) = ≥ 𝑚𝑡, yaǵniy 𝑙(𝑡)≥ 𝑚𝑡

Demak, 𝑙(𝑡) funkciya 𝑡 nıń monoton ósiwshi funkciyası boladı. Sonday etip, 𝑙(𝑇) = 𝑙 bolatuǵın jalǵız 𝑇 >0 bar. Sonıń ushın (𝑇) == 𝜑(0). Bul teńlik birinshi márte orınlanatuǵın 𝑇 nıń mánisin tabıw ushın usı

𝑙 = (5)

Teńlemeniń eń kishi oń sheshimin (korenin) tabiw kerek boladı.Teorema dálillendi.



Mısalı: Mına



teńlemeler sisteması



sheshimlerge iye, bunnan t parametrin shıǵarıp taslasaq, onda

bolıp, traektoriyalar orayı teń salmaqlılıq ahwalına bolǵan koncentrlik sheńberler toparı boladı. Solay etip, traektoriyalardıń tuyıqlıǵı hám funkciyalarınıń birdey periodtaǵı periodlı sheshimleri bolıwın kórsetedi.