Arifmetik funksiyalar tushunchasi butun koordinatali nuqtalari xaqida

Primitiv xarakterlar va ularning xossalari. Umuman olganda xarakterning eng kichik davri uning modulidan kichik bo’lishi mumkin. Ko’pchilik tekshirishlarda primitiv (boshlang’ich) xarakterlar deb ataluvchi eng kichik davri uning moduliga teng xarakterlar muhim ahamiyatga ega. Endi ana shunday xarakterlarni qaraymiz.
4-ta’rif. Agar bo’lsa, U holda ( – tub son) moduli boyicha bosh xarakterga bo‘lmagan xarakterga primitiv xarakter deyiladi;
agarda bo’lsa, – Butun son ) moduli boyicha bosh xarakterdan farqli xarakterga primitiv xarakter deyiladi;
4 moduli boyicha bosh xarakterdan farqli xarakterga primitiv xarakter deyiladi.
Qolgan barcha xarakterlarga moduli boyicha hosilaviy xarakterlar deyiladi.
4-ta’rifdan moduli boyicha har bir hosilaviy xarakterga unga aynan teng bo‘lgan moduli boyicha primitiv xarakter mos kelishi kelib chiqadi. Primitiv xarakterlar uchun ularning qiymatlari va Gauss yig‘indisi

ning qiymati orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi quyidagi formula o‘rinli.
3-Lemma. Agar k moduli boyicha primitiv xarakter bo’lsa, U holda
bu yerda

Isboti. bo’lganda (2) va (3) tengliklarni bevosita tekshirib ko‘rish mumkin. va bo’lsin. U holda m ni taqqoslamadan aniqlab quyidagiga ega bo’lamiz:
Bu yerda biz , va
larningdavriyligi hamda agar soni moduli boyicha chegirmalarning to‘la sistemasini qa’bul qilsa, u holda ham shu sistemani qabul qilishidan foydalandik.
Endi holni qarash qoldi. Bu holda (2) ning chap tomoni nolga teng. Agar bo’lsa, u holda va (2) ning o‘ng tomoni
va
bo‘lgani uchun nolga teng. Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda

Bu yerdagi ichki yig‘indida

ekanligini ko‘rsatamiz. va davriy, multiplikativ bo‘lgani uchun

tenglikni ko‘rsatish yetarli. bo’lsin. U holda soni moduli boyicha boshlang’ich ildiz bo’ladi. Bu yerda g sonii p moduli boyicha boshlang’ich ildiz, t esa

shartni qanoatlantiradi. Agar γ soni sonining moduli boyicha indeksi bo’lsa, u holda γ=

Bu yerdaн b kelib chiqadi.
Shunday qilib,

bu yerda ( )=1;

Endi faraz qilaylik bo’lsin. U holda sonining indekslar sistemasi 0, ga teng, shuning uchun ham

bo’ladi. Shunday qilib (2)-tenglik ixtiyoriy uchun isbotlandi.
(1) va (2) lardan


kelib chiqadi. Bundan esa(3) ga ega bo’lamiz. Lemma to‘la isbot bo‘ldi.