Anvarov shuhrat

1.3 Algebraning asosiy teoremasi.
Endi algebraning asosiy teoremasiga o’tamiz:
4-teorema: kompleks sonlar maydonida nolinchidan yuqori darajali har bir ko’pxadning eng kamida bitta komleks ildizi bor.
Isbot: Kompleks sonlar maydonida – darajali

ko’phad berilgan bo’lsin. U holda .
Ushbu

musbat sonni olaylik, 3-teoremaga asosan, ning yetarlicha katta qiymatlarida ni istalgancha katta qilish mumkin. Demak, shunday musbat haqiqiy son mavjudki, tengsizlik bajarilganda o’rinli bo’ladi. yopiq soha sifatida tekisligida markazi koordinatalar boshida yotuvchi va radiusi ga teng doirani olamiz. funktsiya bu doirada va uning aylanasida Veyershtrass teoremasining shartlarini qanoatlantiradi, chunki – xuddi kompleks o’zgaruvchining shu sohadagi uzluksiz haqiqiy funktsiyasidir. Demak, doira va aylananing aqalli bitta minimum nuqtasi mavjud bo’lib, funktsiyaning shu nuqtadagi qiymati doiraning istalgan nuqtasidagi qiymatidan katta emas, ya’ni

xususiy holda

chunki 0 ham doiraning nuqtasidir.
qiymat funktsiyaning doira aylanasi tashqarisida yotuvchi nuqtalardagi qiymatlaridan ham katta emas. Haqiqatan, funktsiyaning tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarga mos qiymatlari uchun, (1.2.9) va (1.3.1) ga binoan

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, nuqta tengsizlikning minimum nuqtasini ifodalaydi.
Endi , demak, ekanligi ravshandir, chunki shartda Dalamber lemmasiga ko’ra tekislikning shunday nuqtasi mavjud bo’lib,

tengsizlik albatta o’rinli bo’lishi kerak. Bu esa ning butun tekislikda minimum nuqtasi bo’lishiga ziddir. Shunday qilib,

va demak, – ko’pxadning ildizidir.
5-teorema: Kompleks sonlar maydonidagi -darajali ko’pxadning xuddi ta ildizi bor.
Isbot: 4-teoremaga muvofiq, ning aqalli bitta kompleks ildizi mavjud. 1-rejadagi 2-teoremaga muvofiq esa ko’pxad ga bo’linadi.

- darajali ko’pxadga nisbatan yuqoridagi mulohazalarni takrorlab

Tenglikni hosil qilamiz, bunda ko’phad darajalidir va hokazo. Shu protsessni davom ettirib, nihoyat 1-darajali ko’pxadga keltiramiz va

tenglikka ega bo’lamiz, bunda - o’zgarmas son.
Hosil bo’lgan (1.3.2), (1.3.3), (1.3.4) va xokazo tengliklardan

yoymilmaga kelamiz. Bu (1.3.5) ifodaga qarab,

sonlar ko’phadning ildizlari ekanini ko’ramiz, chunki ni o’rniga qo’ysak,

kelib chiqadi. (1.3.5) yoyilmadagi ayirmalar 1-darajali va demak keltirilmaydigan ko’phadlar bo’lgani uchun, ni keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyish haqidagi teoremaga binoan, bu ayirmalar – o’zgarmas ko’paytuvchilar aniqligi bilan yagonadir. Bu xol esa ko’pxadning

dan boshqa ildizlari yo’qligini bildiradi. (1.3.5) yoyilmadagi ayirmalarni bir biriga va ga ko’paytirib chiqsak, hosil bo’lgan ko’pxadning bosh koeffitsienti ga tengligini ko’ramiz. Lekin bu ko’phad ning o’zginasi bo’lgani uchun, degan natijaga kelamiz, bunda bilan ning bosh koeffitsientini belgiladik. Shunday qilib, (1.3.5) tenglik quyidagicha yoziladi:

Bu yoyilma ko’phadning chiziqli ko’paytuvchilarga yoyilmasi deyiladi. Umuman, ildizlarning ba’zilari o’zaro teng bo’lishi ham mumkin. Shu sabali, har xil ildizlarni

bilan belgilab, (1.3.6) tenglikni ushbu

ko’rinishda yoza olamiz, bunda

butun musbat sonlar mos ravishda

ildizlarning karralilik belgilari deyiladi, boshqacha aytganda ni karrali, ni karrali, ... , ni karrali ildiz deb ataymiz. Demak, -darajali ko’pxadning ildizlari bir karrali, ..., karrali bo’lishi mumkin. Shunday qilib, kompleks sonlar maydonidagi birinchidan yuqori darajali har bir ko’phad bu maydonda keltiriladigandir.
Haqiqatan, - bunday ko’phadning istalgan ildizi bo’lsa, ni ga bo’lib, ushbuni hosil qilamiz:

Bu ko’paytma aytganimizni tasdiqlaydi.
Natija: Agar

sonlar - darajali ko’phadning istalgan ildizlarini ifodalasa ko’phad

ga bo’linadi.
Isbot: (1.3.6) tenglikdan:

hosil bo’ladi, bunda - o’sha tenglikdagi qolgan ko’paytuvchilarning ko’paytmasidir. Xususiy holda, bu ko’phadning karrali ildizi bo’lsa, ko’phad ga bo’linadi:

Ravshanki, ildiz karrali bo’lgani uchun, ning qolgan ta ildizi dan farqlidir. 2 – tomondan, - darajali ko’phadning ildizlari xuddi ning shu qolgan ta ildizlaridan iborat. Haqiqat, ning qolgan ildizlarini bilan belgilasak, (1.3.6) ga asosan,

ekanligi ma’lum bo’ladi. Endi - darajali ko’phadning shu tadan boshqa ildizlari yo’qligi sababli, son ko’phad uchun ildiz bo’lmaydi, ya’ni .