Anvarov shuhrat

2.2 Kubik tenglama va uni yechish usullari
Umuman, kompleks sonlar maydonidagi 3-darajali tenglamaning ikkala tomonini bosh koeffitsientga bo’lib, uni

ko’rinishga keltirish mumkin. Bu tenglama quyidagi metod bilan yechiladi. (2.2.1) tenglamani yangi noma’lum ga nisbatan 2-darajali had ishtirok etmagan 3-darajali tenglamaga quyidagicha keltirish mumkin: ni (2.2.1) tenglamada

almashtirnishni bajargandan keyin yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi 3-darajali tenglama hosil bo’ladigan qilib tanlaymiz. (2.2.1) da o’rniga ni qo’yib koeffitsientini nolga tenglashdan

tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamadan

topiladi. Aytilganlarga asosan (2.2.1) tenglamada

almashtirishni bajarsak,

hosil bo’ladi. Bunda

(2.2.3) – 3-darajali tenglamaning normal shakli deb ataladi. (2.2.3) normal tenglamani yechish uchun

deymiz, bunda va – yangi noma’lumlar. Bu ifodani (2.2.3) tenglamaga qo’ysak, quyidagi kelib chiqadi:

bundan

Endi, va noma’lumlarni shunday aniqlaylikki,

yoki

bajarilsin. Bu vaqtda (2.2.6) va (2.2.7) dan:

hosil bo’ladi. Ko’ramizki, va ushbu

kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat. Bu tenglamani yechib, quyidagini topamiz:

yoki

va

bundan, (2.2.5) ga ko’ra

(2.2.8) tenglik odatda Kardano formulasi deb ataladi. Bu tenglik ikkita ildizning yig’indisidan iborat bo’lib, har bir ildiz uchta qiymatga ega: ning har bir qiymatini ning har bir qiymati bilan olsak,

uchun hammasi bo’lib to’qqizta qiymatni hosil qilamiz. Ammo (2.2.3) tenglama faqat uchta ildizga ega; shu sababli yuqoridagi to’qqizta qiymatdan uchtasini, ya’ni

yig’indining (2.2.7) shartni qanoatlantiruvchi qiymatlarini olishimiz kerak. Shu maqsadda avval:

ildizning uchta qiymatini topamiz. Buning uchun ma’lumki, ning bitta masalan, ildizini birning 3-darajali



ildizlariga ko’paytirishimiz lozim. Natijada ning 3-darajali ildizlari

bo’ladi. Endi ning tegishli qiymatlarini (2.2.7) shartdan topamiz.


bunda

dan foydalandik. Shunday qilib, ning har bir qiymatini ning mos qiymatiga qo’shsak, uchun quyidagi uchta qiymat kelib chiqadi.

Agar bu tengliklarga va ning qiymatlarini qo’ysak, (2.2.3) normal tenglamaning ildizlari quyidagiga teng bo’ladi:

Endi (2.2.2) tenglikdan foydalanib, (2.2.1) tenglamaning ildizlarini topamiz:

Misol:

tenglamani yechaylik. Bunda

bo’lgani uchun (2.2.4) tengliklarga asosan

va

Endi

Agar desak,

hosil bo’ladi. Demak, (2.2.10) ga binoan berilgan tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat:

Haqiqiy sonlar maydonida 3-darajali normal tenglamaning ildizlari qanday bo’lishini tekshiraylik. (15) tenglamaning va koeffitsientlarini haqiqiy sonlar deb hisoblab,

Ifodani olamiz va quyidagi uch holni ko’rib o’tamiz:

1. 
   
   

Bu holda (2.2.11) da ildiz ostidagi son haqiqiy bo’lib, ham xaqiqiy ildizga ega bo’ladi. Bundan,

ham haqiqiy degan natijaga kelamiz. Shu sababli (2.2.9) tengliklarga qarab, (2.2.3) tenglamaning ildizlari har xil, bulardan bittasi, ya’ni

haqiqiy va qolgan ikkitasi, ya’ni


qo’shma kompleks ekanini ko’ramiz.

2. 
   
   

yoki

Bu holda (2.2.11) tenglik

ko’rinishga keladi.
Biz ning

haqiqiy ildizini olamiz. Shu bilan birga

ning ham

haqiqiy ildizini olish lozim. Chunki bu ikki va qiymat

shartni qanoatlantiradi. Endi,

bo’lgani uchun, (2.2.9) dan

qiymatlarni topamiz. Demak, bu holda (2.2.3) tenglamaning ildizlari haqiqiy va ikkitasi tengdir.

3. 
   Nihoyat
   

Bu tengsizlikda har vaqt

bo’lgani uchun,

shart bajarilishi kerak, chunki aks holda faqat

bo’lar edi. Ko’ramizki,

ildiz mavhum sonni ifodalaydi. Shu sababli

ildiz ham faqat kompleks qiymatlargagina ega. Bulardan bittasini

deylik, bunda

2-tomondan

bundan

demak,

Endi, ga mos ni topamiz

Shunday qilib, (2.2.9) tengliklardan ushbuni hosil qilamiz:



Demak, bu holda (2.2.3) tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xildir.
Misollar: 1)
tenglama uchun

Bu tenglamaning bitta ildizi va ikkita ildizi

2)
tenglama uchun

tenglamaning ildizlari: