Anvarov shuhrat

1.4 Algebraik ko’phad va uning nollari haqida yana boshqa teoremalar
6-teorema: – darajali ko’phad ning tadan ortiq har xil qiymatlarida nolga teng bo’lsa, – nol ko’phadni ifodalaydi.
Isbot: – darajali

ko’phad ning quyidagi ta har xil

qiymatlarida nolga teng deb faraz qilaylik. U holda, bu sonlardan, masalan, boshdagi tasi ning ildizlari bo’lib, (1.3.5) tenglik o’rinlidir.

Shart bo’yicha ya’ni,

bunda - qolgan sonlardan istalganini ifodalaydi. Endi

bo’lgani uchun degan natijaga kelamiz. Demak, ko’phad quyidagi

ko’rinishini oladi. Bu ko’phad ham dan kichik darajali bo’lib, ning (1.4.1) qiymatlarida nolga aylanadi va shu sababli yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, ekanini topamiz va hokazo. Protsessni oxirigacha davom ettirib,

ga kelamiz. Shart bo’yicha

Demak,

bo’lgani uchun ekan.
Natija: Darajasi dan yuqori bo’lmagan ikki va ko’phad ning tadan ortiq har xil qiymatlarida bir biriga teng bo’lsa, va - o’zaro teng ko’phadlarni ifodalaydi.
Isbot: Darajasi dan yuqori bo’lmagan

yoki

7-teorema: ko’phadning karrali ildizi hosila uchun karrali ildiz bo’ladi.
Isbot: Agar son ko’phadning karrali ildizi bo’lsa, ma’lumki, ga bo’linadi. Demak, kompleks sonlar maydonida ko’phad uchun keltirilmaydigan karrali ko’paytuvchini ifodalaydi. SHu sababli quyidagi teoremaga muvofiq, bu ko’phad uchun karrali ko’paytuvchini bildiradi.
Teorema: Agar keltirilmaydigan ko’phad ko’phad uchun karrali ko’paytuvchi bo’lsa, uning xosilasi uchun bu ko’phad karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Bundan ning bir karrali ildizlari xosila uchun ildiz bo’lmasligi ma’lum bo’ladi.
Eslatma: Bundan buyon, ning karrali ildizi deb, karraligi birdan ortiq bo’lgan ildizni tushunamiz. Bir karrali ildizni biz oddiy ildiz deb ataymiz.
8-teorema: son ko’phadning karrali ildizi bo’lishi uchun

va

shartlarning bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot: I. Agar son uchun karrali ildiz bo’lsa, u xosila uchun karrali ildiz bo’ladi. Bu vaqtda ko’pxadning xosilasi uchun son karrali ildiz bo’ladi. Demak, uchun bu son karrali ildiz va xokazo. Nixoyat uchun bir karrali ildiz, shu sababli uchun son ildiz emas. Shunday qilib

lekin

II. Endi yuqoridagi shartlar bajariladi deb faraz qilgan holda, ni Teylor formulasi bo’yicha yoyamiz:

Bundan,

bo’lgani uchun, ushbuni hosil qilamiz:

Bu tenglik ning uchun karrali ildiz ekanini ko’rsatadi, Chunki

9-teorema: – haqiqiy sonlar maydonidagi ko’phad bo’lsa, ning qo’shma kompleks qiymatlarida ham qo’shma kompleks qiymatlarni qabul qiladi.
Isbot: haqiqiy sonni olamiz va Teylor formulasiga asosan ni ning darajalari bo’yicha yoyamiz:

Bu yoyilmaning koeffitsientlari haqiqiy sonlar bo’lib, biz ularni qisqacha:

shaklda belgilaylik. U holda, yoyilma quyidagi:

ko’rinishni oladi. Agar o’z ichiga ning juft va toq darajalarini olgan hadlarni ayrim-ayrim guruxlarga ajratsak,

hosil bo’ladi. Endi, bu tenglikka qiymatni qo’yib ( – haqiqiy son) ushbuni hosil qilamiz:

yoki

bunda:

va

haqiqiy sonlardir.
Agar (1.4.2) tenglikka qiymatni qo’ysak,

yoki

kelib chiqadi. Shunday qilib ning va qiymatlarida ko’phad va qiymatlarni qabul qiladi.
1-natija: Haqiqiy sonlar maydonidagi ko’phad uchun kompleks son ildiz bo’lsa, qo’shma kompleks son ham ildiz bo’ladi.
Isbot: kompleks son ning ildizi bo’lgani uchun,

Demak,

Shu sababli

Bu esa son ning ildizi ekanini ko’rsatadi.
2-natija: Haqiqiy sonlar maydonidagi ko’phadning kompleks ildizlari soni faqat juft bo’lishi mumkin.
Chunki, 1-natijaga binoan, har bir kompleks ildiz uchun yana ildiz mavjud.
3-natija: Haqiqiy sonlar maydonidagi juft darajali ko’phadning haqiqiy ildizlari soni faqat juft bo’la oladi. Chunki ning darajasini va kompleks ildizlarning sonini desak, haqiqiy ildizlarning soni

bo’ladi. va juft sonlarni ifodalagani uchun ham juft sondir. Bu va sonlardan bittasi 0ga teng bo’lishi ya’ni ning yo kompleks, yoki haqiqiy ildizlari bo’lmasligi ham mumkin.
4-natija: Haqiqiy sonlar maydonidagi toq darajali ko’phad toq son haqiqiy ildizlarga ega. Chunki bu holda, -toq va -juft bo’ladi. Demak,

toqdir. Shunday qilib ning eng kamida bitta ildizi haqiqiy, bo’lsa, uning hamma ildizlari haqiqiy bo’ladi.
5-natija: Haqiqiy sonlar maydonida har bir ko’phadni shu maydondagi birinchi va ikkinchii darajali keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyish mumkin.
Chindan ham, ning ildizlarini

desak,

yoyilma hosil bo’ladi, bunda – haqiqiy son. Agar masalan, – haqiqiy ildiz bo’lsa, haqiqiy sonlar maydonidagi 1-darajali (demak, keltirilmaydigan) ko’phadni ifodalaydi. Agar masalan,

Kompleks ildizni bildirsa, ning ildizlaridan bittasi qo’shma kompleks sondan iborat bo’ladi, masalan,

U holda, ushbu

ya’ni haqiqiy sonlar maydonidagi ikkinchii darajali keltirilmaydigan ko’phadni hosil qilamiz.
Demak, ko’phad haqiqiy sonlar maydonidagi birinchi va ikkinchii darajali keltirilmaydigan ko’phadlar ko’paytmasiga yoyiladi. Ko’phad haqiqiy ildizga ega bo’lmasa, bu yoyilmada birinchi darajali keltirilmaydigan ko’paytuvchilar bo’lmaydi.
Xulosa: Haqiqiy sonlar maydonidagi ikkinchidan yuqori darajali har bir ko’phad shu maydonda keltiriladi. Chunki yuqorida aytilgan yoyilmani haqiqiy sonlar maydonidagi darajalari ning darajasidan kichik ikkita ko’phad ko’paytmasiga keltirish mumkin.
Masalan,

ko’phadni olaylik. Uning ildizlarini topamiz:

Demak,

Shu sababli

Bunda:


Shunday qilib,