2.5. Irratsional tenglamalarni yechish usullari Noma’lum miqdor ildiz ostida qatnashuvchi tenglamalarga irratsional tenglamalar deyiladi.
Masalan, va tenglamalar irratsional tenglamalardir. Lekin tenglama irratsional tenglama xisoblanadi.
Irratsional tenglamalrni yechishda faqat haqiqiy ildizlar topish talab qilinadi.
Irratsional tenglamada juft ko’rsatkichli ildizlar ostidagi barcha ifodalarni manfiymas qiymatlarini ta’minlovchi noma’lumlar qiymatlari to’plami shu tenglamani aniqlanish sohasi yoki muxim bo’lgan qiymatlari to’plami deyiladi.
Tenglamaning ikkala tomonini bir xil darajaga ko’tarish. Bu usulni qo’llash uchun quyidagi teoremalardan foydalaniladi.
Teorema 1. Agar tenglamani ikkala tomonini bir xil toq darajaga ko’tarilsa va ildizlar yo’qotilsa, hosil bo’lgan tenglama berilgan tenglamaga teng kuchli bo’ladi.
Teorema 2. to’plam berilgan irratsional tenglamaning AS(aniqlanish sohasi) bo’lsin. to’plamda tenglamaning ikkala qismi ham manfiy bo’lsin. Agar tenglamaning ikkala tomonini bir xil juft darajaga ko’tarilib ildizlar yo’qotilsa, u holda teng kuChli tenglama hosil bo’ladi.
Bu tenglama o’rinli bo’lsa, ildizlar yo’qotilmaydi.
Misollar.
1-misol.
1-teoremaga asosan bu tenglama yechimlari tenglamaning haqiqiy ildizlaridan tashkil topadi.
Bu ildizlar lardan iborat, chunki
2-misol.
Bu tenglamaning AS i dan iborat da tenglamaning ikkala tomonini ham musbat 2-teoremani qo’llaymiz. va ildizlar da yotadi.
Ikkala ildiz ham da yotadi, tekshirishning hojati yo’q.
3-misol.
Bu tenglama uchun sistema yechimlari to’plamidan iborat. Demak, AS uchun to’plamni olish mumkin. da tenglamani kvadratga ko’tarib tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi kvadrat tenglama ildizlari va dan iborat. Lekin bo’lgani uchun berilgan tenglama ildizga ega.
4-misol. tenglamani yeChing.
Bu tenglama uchun AS dan iborat. da tenglamani chap tomoni musbat va manfiy ko’paytmalarni qabul qilishi mumkin. Shuning uchun uning ikkala tomonini kvadratga ko’tarilsa, chet ildizlar paydo bo’lishi mumkin. Shuning uchun oxirgi tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. Ana endi tenglamaning ikkala qismini ham da musbat bo’lgani uchun ham 2-teoremani tadbiq etamiz.
Endi (2.5.2) ning o’ng tomoniga e’tibor beramiz. shart . Shunday qilib (2.5.2) tenglamani oraliqdagi yechimlarini topishimiz kerak. Bu oraliqda (2.5.2) tenglamani
tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama bitta yechimga ega, chunki tenglama yechimga ega emas. Bu tenglamaning faqat bitta ildizi oraliqda yotadi. Demak, berilgan tenglama bitta ildizga ega.
5-misol. tenglamani yeching.
Bu tenglamani to’plamdagi AS i
Sistema yechimlari to’plamidan iborat bo’ladi. (2.5.4) sistemani yechimlari to’plamida (2.5.3) tenglama 2-teorema shartlarini qanoatlantiradi. Lekin (2.5.3) ning ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, va yana bir marta kvadratga ko’tarish amali bajarilsa, ancha murakkab tenglama hosil bo’ladi. Shuning uchun (2.5.3) tenglamani
ko’rinishda yozib olamiz. Endi (2.5.5) tenglamaga 2-teoremani qo’llab bo’lmaydi. Aks holda chet ildizlar paydo bo’lishi mumkin. shuning uchun topilgan yechimlarni tekshirib ko’rishga to’g’ri keladi. (2.5.5) ning ikkala tomonini kvadratga ko’taramiz. U holda
hosil bo’ladi. Oxirgi tenglama yechimlari shartni (chunki bo’lishi kerak) qanoatlantirishi shart. Yana bir marta kvadratga ko’tarsak tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglama yechimlari va dir. bo’lgani uchun ni tekshiramiz. berilgan tenglama ildizidir
Yangi noma’lumlar kiritish usuli
Ba’zi hollarda yangi noma’lumlar kiritish yordamida berilgan tenglamani yechish ancha osonlashadi.
6-misol. tenglamani yeching.
Bu tenglamani kodi yozib olinadi va belgilash kiritamiz. U holda beoilgan tenglama ko’rinishga keladi. Oxirgi tenglama va yechimlarga ega. Endi tenglamani yechamiz. U holda biz izlagan yechimlar bo’ladi.
7-misol. tenglamani yeching.
noma’lumlar kiritilsa, sistemaga kelamiz.
Bu sistema ikkita yechimga ega. U holda ikkita
sistemalarni yechamiz, hamda va yechimlarni topamiz.
Tenglamaning ikkala tomonini biror funktsiyaga ko’paytirish usulida yechish. Ba’zi hollarda irratsional tenglamaning ikkala tomonini biror funktsiyaga ko’paytirish natijasida tenglamani yechish ancha osonlashishi mumkin. Lekin bunday holda chet ildizlar paydo bo’lishi ( ning nollari) mumkin. Shuning uchun topilgan yechimlarni albatta tekshirib ko’rish kerak.
8-misol. tenglamani yeching.
(2.5.8) ni ikkala tomonini funktsiyaga ko’paytiramiz.
Lekin berilgan tenglamani qanoatlantiradi. Shuning uchun deb faraz qilamiz va (2.5.9) tenglamaning ikkala tomonini ga qisqartiramiz
tenglamani hosil qilamiz. Endi (2.5.8) va (2.5.10) tenglamani hadlab qo’shamiz. Natijada
tenglamani hosil qilamiz. Oxirgi tenglama esa yechimga ega. Endi ni (2.5.8) tenglamaga qo’yamiz
Demak, haqiqatan yechim ekan.
Xulosa Ushbu “Bir noma’lumli tenglamalarni yechishni turli usullari” mavzusidagi bitiruv malakaviy ishni atroflicha o’rganib chiqdik.
Mavzu juda qiziqarli bo’lgani uchun, mavzuga doir ko’plab misollarni keltirdik. Bitiruv malakaviy ishini o’rganish mobaynida bo’lganda
algebraik tenglamani radikallarda yechib bo’lmasligi, ya’ni yechimlarini radikallar orqali ifodalovchi formulalarni keltirib chiqara olish mumkin emasligi haqidagi Abel teoremasini keltirdik.
Ushbu mavzu nafaqat oliy matematika masalalarini yechishda, masalan, chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemalarini yechishda yoki mehanika masalalarini yechishda balki, o’rta maktabda, kasb-xunar kollejlari o’quvchilariga sinfdan tashqari darslarda, to’garaklarda saboq berish uchun ham juda qulay.
Agar o’quvchilarga bitiruv malakaviy ishi bo’yicha saboq berilsa, unda ular kubik, to’rtinchi darajali tenglamalarni yechimlarini xuddi kvadrat tenglama ildizlarini birdaniga yozib qo’ygani kabi ko’nikmalarga ega bo’ladilar.
Kelajakda pedagogik faoliyatimda mavzudan keng foydalanaman.
