Аномальный перенос: Основы и применение Р. Клагес, Г. Радонс и И. М. Соколов (ред.) Wiley-vch, Вайнхайм, 2007

Аномальный перенос: Основы и применение
Р. Клагес, Г. Радонс и И. М. Соколов (ред.) Wiley-VCH, Вайнхайм, 2007.


1.1
Введение
Аномальные диффузионные процессы распространены в природе повсеместно [1-6]. Их возникновение обычно связано со сложными системами, которые вызывают пространственные и/или временные корреляции в процессе диффузии. Признаком нормальной диффузии является линейная асимптотическая зависимость среднеквадратичного смещения диффузирующего объекта (далее именуемого “частицей”) от времени, hr2

i ∼ t, t → ∞.

Признаком аномальной диффузии является нелинейная зависимость от времени. В частности, если рост со временем является сублинейным, так что
hr2

i/t → 0, t → ∞, (1.1)

говорят , что частица является субдиффузивной . (Процесс является сверхдиффузивным, когда предел стремится к бесконечности.) В этой главе мы сосредоточимся на важном классе субдиффузионных процессов, для которых
hr2

i ∼ t
γ

, t → ∞ (1.2)
и где (аномальный) показатель диффузии γ удовлетворяет 0 < γ < 1.

Интересным классом диффузионных процессов являются так называемые реакции, ограниченные диффузией. Это процессы, в которых диффузия является доминирующим механизмом смешивания и, кроме того, где время, необходимое реагентам для нахождения друг друга, намного больше, чем время, необходимое для протекания реакции после такого столкновения. Следовательно, в этих системах диффузия является ключевым фактором, определяющим пространственное распределение реагентов и результирующую скорость реакции.

Поскольку диффузия не является особенно эффективным механизмом смешивания, реакции, ограниченные диффузией, часто имеют чрезвычайно интересные пространственные и временные характеристики. В этом контексте особенно уместно указать на новаторскую работу Тьюринга по формированию паттернов в реакционно-диффузионных системах [7]. Реакции, ограниченные диффузией, проявляются в огромном количестве применений, включая не только химические (см., например, [8]), но и биологические (например, [9]), экологические (например, [10]) и экономические процессы (например, [11]), которые изучались на протяжении
многих десятилетий.

Вопрос, который движет этой главой, заключается в следующем: что произойдет, если партнеры по реакции будут субдиффузионными, а не диффузионными? Как на пространственное распределение и, в частности, на кинетику реакции влияет субдиффузионная природа реагентов? Более того, что произойдет, если диффузионные свойства разных видов реагентов качественно различны, например, если один вид диффундирует нормально, а другой является субдиффузионным? Мы увидим, что ответы на эти вопросы приведут нас к самым разным сценариям. Некоторые из них будут на них можно ответить с помощью простых процедур, связанных с подчинением случайных процессов (см. раздел 1.3.1), в то время как другие неожиданно сложны и по существу непредсказуемы по любым простым причинам [12-14]. Некоторые из них будут включать почти автоматическое распространение результатов нормальной диффузии на субдиффузионный режим, в то время как другие предполагают глубокие качественные изменения (сродни критическим явлениям) в кинетике реакции по мере достижения определенных критических значений показателей аномальной диффузии [15-17].

В разделе 1.2 мы представляем ряд физических сценариев, которые приводят к субдиффузионному движению, а также некоторые математические формулировки, используемые для описания движения частиц и химических реакций в таких средах. В разделе 1.3 мы рассмотрим две классические задачи о реакции (суб) диффузии, а именно задачу о цели (которая включает статическую частицу в море подвижных ловушек) и задачу о захвате (где ловушки статичны, а частица подвижна).

Ситуация усложняется, когда все партнеры по реагированию мобильны. В разделе 1.4 мы рассматриваем задачи реакции-(суб)диффузии A + A →
Продукты и A + B → Продукты, когда все реагенты подвижны и изначально распределены случайным образом. Разделы 1.2-1.4 посвящены временной зависимости глобальных концентраций реагентов c(t) и результатам, которые могут быть получены путем масштабирования аргументов. Существуют ситуации, связанные с неоднородным распределением реагентов, в которых желательно сосредоточиться не только на глобальном концентрации, но на локальных (зависящих от пространства) концентрациях c(r, t).
Примером может служить эволюция фронтов реакции между первоначально разделенными реагентами. В разделе 1.5 мы обсуждаем различные способы моделирования эволюции локальных концентраций с использованием подходов к уравнению реакции-субдиффузии, и мы иллюстрируем некоторые из них на примере анализа фронта реакции.
Особая проблема возникает, когда реагирующие частицы, которые все подвижны, описываются различными субдиффузионными показателями. В разделе 1.6 обсуждаются некоторые таких реакций и получает результаты для глобальных концентраций на основе взаимно сходящихся ограничивающих аргументов. Наконец, в разделе 1.7 мы представляем краткое заключительное резюме и упоминаем ряд открытых проблем в области реакции-субдиффузии.