Аномальный перенос: Основы и применение Р. Клагес, Г. Радонс и И. М. Соколов (ред.) Wiley-vch, Вайнхайм, 2007

1.2
Контексты субдиффузии и подходы к моделированию
Субдиффузионные процессы возникают в различных контекстах, из которых мы упоминаем только самые распространенные.
Субдиффузия описывает способ перемещения частицы через пространственно неупорядоченные или фрактальные среды [1,5,18,19] (см. Вклад Хоффмана и Преля в этом томе). В таких средах существуют структурные нарушения, узкие места и тупики, то есть нарушения нормальной диффузии, которые приводят к среднеквадратичному смещению, определяемому [5, 20]

r2 i ∼ t 2/dw , t → ∞. (1.3)

Здесь dw = 2df /de - размерность случайного блуждания, df и deb – соответственно фрактальная и спектральная размерность подложки. Этот результат описывает среднеквадратичное смещение как для случайных фрактальных структур, таких как перколяционные кластеры и агрегаты с ограниченной диффузией, так и для регулярных фракталов, таких как Прокладки Серпинского. Для d-мерных евклидовых сред d = df = de и, следовательно, dw = 2 для всех d.

Субдиффузия также описывает движение частицы в регулярной решетке с погашенный (замороженный) беспорядок [1-5, 19] или с динамическим беспорядком из-за коррелированных (медленных) временных колебаний среды [19, 21, 22]. Здесь, хотя узлы и связи являются узлами регулярной решетки, скорости перехода от одного узла к другому варьируются от узла к узлу из-за случайных энергетических барьеров или потенциальных колодцев случайной глубины или, в более общем плане, наличия пространственно случайного гашеного силового поля (проблема Синая) или зависящий от времени случайное силовое поле. Определенные распределения скоростей перехода приводят к субдиффузионному движению (см. Вклад Бушо в этом томе). Например, предположим, что в каждом узле d-мерной решетки имеется потенциальная яма фиксированной глубины λ, полученная из распределения p(λ). Предположим, что это распределение ведет себя как p(λ) ∼ λ
−1−α
для больших λ. Если предположить, что распределение времени ожидания выхода из скважины глубины λ следует закону Аррениуса,
ψ(t|λ) = λ
-1
exp(−t/λ), то обнаруживается, что