Aniq integralning tatbiqlari reja to’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash

Q 	 2 d
(1)
	2
		

yoki

Q 	1		[ f (  i )]^2 d	(1’)
	2	
		

formula bilan topiladi.

Misol.   a cos20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping.

Yechish. Agar 	burchak 0 dan					gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak
				4
qismiga teng:
														
		1	Q 				1		^4		 ^2 d 	1	a 2		^4	cos 20d 
	4					2						2
								0						0



• 
  a ² sin 20 ⁴ _ a²
  

2 24

0

Demak, Q  a² .

3. Egri chiziq yoyini uzunligi

1.To’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq yoyining uzunligi. Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq y  f ( x) tenglama bilan berilgan bo’lsin.

Bu egri chiziqning x  a va x  b vertical to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan AB yoyining uzunligini topamiz.

AB	yoydan	A, M 1 , M 2 ,..., M i ,..., B	nuqtalarni	olamiz,	bu	nuqtalarning			absissalari
x0  a, x1, x2 ,..., xi ,...,b  xn bo’lsin. AM 1 , M 1M 2 ,..., M n 1B				vatarlarni	o’tkazamiz		va	bu	vatarlarning
uzunliklarini mos		ravishda s1 , s2 ,..., sn	bilan belgilaymiz. Bu		holda	AB	yoyga	ichki chizilgan
					n
AM 1M 2 ...M n 1B siniq chiziqqa ega bo’lamiz. Siniq chiziqning uzunligi sn  si ga teng.

i1
AB yoyning s uzunligi deb


n
s  lim s_i (1)
^{max s}i ^0 _i1

limitga aytiladi. Yuqoridagi kabi mulohazalarni takrorlab topamiz:

s  ^b 1 [ f '(x )]² dx


a

yoki

s  ^b
	1  [		dy	]^2 dx		(2)
			dx
a

Misol 1. x ²  y ²  r² aylana uzunligini toping.

Yechish. Avval aylana chorak qismining uzunligini topamiz. Bu holda AB quyidagicha:

dy

x

y 

r

^2 x^2 , bu yerdan

 

dx

r ^2  x^2

Demak,

1

s  ^r

1 

x ^2

dx  ^r

r

dx  r arcsin

x

|0^r  r



4

r

2

 x

2

r

2

r

2

 x

2

0

0

Butun aylananing uzunligi s  2r ga teng.

Endi egri chiziq parametric ko’rinishida


x   (t ), y   (t ) (  t  )

berilganda yoy uzunlikligini topamiz, bu yerda (t ) va  (t ) - hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uzluksiz funksiyalar, bunda  '(t ) berilgan uchastkada nolga teng emas. Bu holda yoy uzunligi


s   [ '(t )]^2 [ '(t )]^2 dt	(5)



formula bilan topiladi.
Misol 2. x  a cos³ t , y  a sin³ t giposikloidning uzunliklarini toping.

Yechish. Egri chiziq ikkala koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun avval birinchi chorakda qismining uzunligini topib olamiz:

^dx_dt  3a cos ² t sin t , ^dy_dt  3a sin ² t cos t

20. 
    parametr 0 dan ^₂ gacha o’zgaradi.
    

Demak,

 

1

s  ^2

dt  3a ^2

9a ^2 cos^4 t sin^2 t  9a ^2 sin^4 t cos^2 t

sin^2 t cos^2 t dt 

4

0

0



sin^2 t



 3a ^2

3a

sin t costdt  3a

|



0^2

2

0

2

s  6a