Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

6. Aniq integralni mexanikaga tatbiqi. Jismni aniq integral yordamida hisoblash.
Biror F kuch ta’siri ostida M moddiy nuqta OS to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilsin, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga ko’chganda F kuchning bajargan ishni topilsin.

1) Agar F kuch o’zgarmas bo’lsa, u holda A ish F kuch bilan o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan ifodalanadi:

A=F(b-a)

2) F kuch moddiy nuqtaning olgan o’rniga qarab uzluksiz o’zgaradi, ya’ni [a, b] kesmani uzunliklari

bo’lgan n ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz. Har bir [S_i-1, S_i] qismiy kesmada ixtiyoriy nuqta tanlab olib, F(S) kuchning yo’lda bajargan ishini ko’paytma bilan almashtiramiz. Oxirgi ifoda yetarlicha kichik bo’lganda F kuchning yo’lda bajargan ishning taqribiy qiymatini beradi.

Yig’indi F kuchning [a, b] kesmada bajargan ishning taqribiy ifodasi bo’ladi. Bu yig’indining dagi limiti F(S) kuchning S=a nuqtadan S=b nuqtagacha bo’lgan yo’lda bajargan ishini ifodalaydi:

(11)

Misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho’zilishi ma’lum bo’lsa, uni 4 sm cho’zish uchun qancha ish bajarish kerak?

Yechish. Guk qonuniga ko’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx;

Agar x=0,01 m va F=1 N ekanligini hisobga olsak, u holda k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi.

Demak, F=100x. Bajarilgan ish ekanligini hisobgan olsak

(j)
7. Inersiya momentini aniq integral yordami bilan hisoblsh

XOY tekislikda massalari bo’lgan moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. Mexanikadan ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining O nuqtada nisbatan inersiya momenti:

(12)

bunda

Faraz qilamiz, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo’lib, u tenglama bilan berilgan bo’lsin va [a, b] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsin, Egri chiziqning chiziqli zichligi gat eng bo’lsin. Bu chiziqni uzunliklari bo’lgan n ta bo’laklarga bo’lamiz, bunda ularning massalari bo’lsin. Yoyning har bir qismida absissasi va ordinatasi bo’lgan nuqtalar olamiz. Yoyning 0 nuqtaga nisbatan inersiya momenti:

(13)

Agar funksiya va uning hosilasi uzluksiz bo’lsa, u holda da (13) yig’indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini ifodalaydi:

(14)

1. Uzunligi l bo’lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga nisbatan inersiya momenti.

Tayoqchani OX o’q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz.

0 x x

8-rasm
Bu holda

(14) formula qo’yidagi ko’rinishni oladi:

(15)

Agar tayoqchaning massasi M berilgan bo’lsa, u holda va (15) formula qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:

(16)

2. Radiusi r bo’lgan aylananing markaziga nisbatan inersiya momenti.

Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo’lgan va massasi bo’lgani uchun, aylananing inersiya momenti qo’yidagicha bo’ladi:

(17)

3. Radiusi R bo’lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momenti.
Doirani n halqalarga ajratamiz. S-doira yuzi birligining massasi bo’lsin. Bitta halqani olib qaraymiz.

y

R x
9-rasm

Bu halqaning ichki radiusi r_i tashqi radiusi bo’lsin. Bu halqaning massasi ga teng bo’ladi. Bu massaning markazga nisbatan inersiya momenti (17) formulaga muvofiq taqriban qo’yidagiga teng bo’ladi:

Butun doiraning inersiya momenti:

da limitga o’tib, doira yuzining markazga nisbatan inersiya momentini hosil qilamiz:

Agar doiraning massasi M berilgan bo’lsa, u holda sirt zichligi qo’yidagiga teng bo’ladi: Bu qiymatni (18) ga qo’ysak:

(19)

Aniq integralning tadbiqi