Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari

Aim.uz

Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
Kattaligi o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan ish

formula bilan hisoblanadi.

Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi formula bilan hisoblanadi.

Tezligi har bir vaqtda o’zgaruvchan va funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning vaqt oralig’ida bosib o’tgan masofasi

formula bilan aniqlanadi.

Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda massaga ega bo’lgan moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror o’qqacha ( yoki nuqtagacha) bo’lgan masofa ga teng bo’lsin. U holda miqdor moddiy nuqtaning o’qga ( nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi.

Masalan, tekislikdagi massaga ega bo’lgan moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

formulalar orqali hisoblanadi.

Masalan, tekislikda har biri mos ravishda massaga ega bo’lgan , , …, moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda

formulalar orqali ifodalanadi.

Biror egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari

formulalar orqali ifodalanadi.

tekislikda massalari bo’lgan material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, va ko’paytmalar massaning va o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi.

Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini va lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan

formulalarni yozishimiz mumkin.

tenglama bilan berilgan egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi :




chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari

formulalardan topiladi.

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. Vintsimon prujinaning bir uchi mustakamlangan, ikkinchi uchiga esa kuch ta’sir etib prujinani qismoqda. Agar prujinaning qisilishi unga ta’sir etayotgan kuchga proporsional bo’lsa, prujinani birlikka qisish uchun kuchni bajargan ishini toping.

Yechish: Agar kuch ta’sirida prujinaning qisilish miqdorini x deb olsak, u holda bo’ladi. Bunda proporsionallik koeffitsienti (qisilish koeffitsienti). Bajarilgan ishni topish formulasidan foydalanamiz:


2. Tezligi qonun bo’yicha o’zgaradigan notekis harakatda vaqt oralig’ida bosib o’tilgan S masofa topilsin.

Yechish: formuladan foydalanamiz. Demak,

o’qining yuqorisida joylashgan yarim aylana og’irlik markazining koordinatalari topilsin.

Yechish: Og’irlik markazining ordinatasini topamiz.

, , , ,



bo'ladi. Chunki yarim aylana o’qqa nisbatan simmetrik joylashgan.

4. parabolaning to’g’ri chiziq bilan kesishishidan hosil bo’lgan segmentning og’irlik markazi koordinatalari topilsin.

Yechish: Masalaning shartidan va Shuning uchun

Segment o’qiga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun bo’ladi.

5. Asosi ga va balandligi ga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchakning asosiga nisbatan inersiya momenti topilsin.

Yechish: To’g’ri to’rtburchakda uning asosidan masofada joylashgan va kengligi bo’lgan elementar polosa ajratamiz. Bu polosaning massasi shu polosaning yuziga, ya’ni ga teng.

Bundan tashqari,


Mustaqil yechish uchun topshiriqlar

1. Jism m/s tezlik bilan harakatlanmoqda. Jismning harakat boshlangandan keyingi 10 sek. davomida bosib o’tgan yo’li topilsin.

Javob: 23,7.

2. Moddiy nuqtaning harakat tezligi m/s formula yordamida aniqlanadi. Nuqtaning dastlabki 4 sek davomidagi bosib o’tgan yo’li topilsin.

Javob: 244m.

3. Massasi ga teng bo’lgan jismni yerdan balandlikka ko’tarish uchun sarf qilish kerak bo’lgan ish aniqlansin.

Ko’rsatma: Yer markazidan x masofada markazga tortish kuchi F ushbu proporsiyadan aniqlanadi. Bunda yer sharining radiusi.

Javob:

4. kuch, prujinani ga cho’zishi uchun qancha ish bajarishi kerak ?

Javob: 24 j

5. va chiziqlar bilan chegaralangan to’g’ri to’rtburchakning vao’qlarga nisbatan inersiya momentari topilsin.

Ko’rsatma : To’g’ri to’rtburchakni gorizontal yuzlarga ajratib, har bir yuzni undan o’qqacha bo’lgan masofa kvadratiga, ya’ni ga ko’paytiramiz. Ko’paytmalarni qo’shib limitga o’tsak, quyidagini hosil qilamiz:

Shunga o’xshash

Javob: .

6. va chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakning vao’qlarga nisbatan statik momenti va og’irlik markazining koordinatalari topilsin.

Ko’rsatma: Statik momentlar quyidagilardan iborat :

og’irlik markazining koordinatalari:

Bunda shaklning yuzi.

Javob:

7. aylananing birinchi chorakda yotuvchi yoyining o’qiga nisbatan inersia momenti topilsin.

Javob: 0,25.

8. parabola va to’ri chiziq bilan chegaralangan shaklning o’qiga nisbatan inersia momenti topilsin.

Javob: .

9. parabolani dan gacha bo’lgan yoyning vao’qlarga nisbatan statik momentlari topilsin.

Javob :

10. zanjir chiziqning nuqtadan nuqtagacha bo’lgan yoyi og’irlik markazining koordinatalari topilsin.

Javob: ;

11. ellips va aylananing kesishishidan hosil bo’lgan shaklning birinchi chorakdagi qismi og’irlik markazining koordinatalari topilsin.

Javob:

Aim.uz