Aniq integralni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash. Yassi figuralar yuzlarini hisoblash. Funksiya yoyi uzunligini hisoblash

4 – chizma.
8-misol. chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
Yechish:


9-misol. chiziqlar bilan chegaralangan figuraning yuzini toping.
Yechish:
10-misol. lemniskata bilan chegaralangan yuzani hisoblang.
Yechish: Agar burchak 0 dan gacha o‘zgarsa, radius-vektor izlanayotgan yuzaning choragini chizadi.

11-misol. bo‘lganda sinusoida va o‘q bilan chegaralangan yuzani hisoblang.
Yechish: bo‘lganda , bo‘lganda esa bo‘lganligi sababli,


12-misol. va egri chiziqlar bilan chegaralangan yuzani hisoblang.
Yechish: Kesishgan nuqtalarni topib olamiz. tenglamalardan foydalanib topamiz.


13-misol. ellips bilan chegaralangan sohaning yuzini tiping.
Yechish: ning qiymati –a dan +a gacha, t ning qiymati dan 0 gacha o‘zgaradi.






14-misol. integralni hisoblang.
Yechish:m o‘rniga qo‘yishdan foydalanamiz.



15-misol. integralni hisoblang.
Yechish: formula bo‘yicha o‘zgaruvchilarini almashtiramiz.



16-misol. egri chiziqlar va ordinatalar o‘qi bilan chegaralangan figurani yuzini toping.



Funksiya yoyi uzunligini hisoblash.
1) To‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasida berilgan egri chiziq yoyining uzunligi [a;b] kesmada tenglama bilan berilgan. Egri chiziq uchun uzluksiz bo‘lsa, u holda uning yoyi uzunligi (5 - chizma).
(20)

formula bilan hisoblanadi.

5 – chizma.
2) Agar egri chiziq ko‘rinishda berilsa, yoyi uzunligi
(21)
formula bilan hisoblanadi.
3) Agar egri chiziq ko‘rinishda berilgan bo‘lib, uzuliksiz funksiyalar bo‘lsa, u holda egri chiziq yoyining uzunligi
(22)
formula bilan hisoblanadi.
4) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan silliq egri chiziq yoyining uzunligi
(23)
formula bilan hisoblanadi.
17-misol. yarim kubik parobolaning koordinatalar boshidan nuqtagacha bo‘lgan yoyi uzunligini toping.
Yechish: parabola tenglamasini defferensiallab olamiz. . Formulaga ko‘ra



18-misol. aylanani uzunligini hisoblang.
Yechish: Dastlab aylananing bir chorakda yotgan qismining uzunligini hisoblaymiz.