Aniq integrallarni taqribiy hisoblashda interpolyatsion kvadratur formulalar” mavzusida tayyorlagan kurs ishi

1-xossa. (1) kvadratur formulaning tugun nuqtalari va koeffitsiyentlari har qanday tanlanganda ham (1) ning algebraik aniqlik darajasi ortmaydi.
2- xossa. (1) kvadratur formulaning barcha koeffitsiyentlari musbatdir.
3- xossa. Agar [a,b] chekli va f(x) bu oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda Gauss tipidagi kvadratur formula yaqinlashadi:

2.3. Chebishev tipidagi kvadratur formula

Kvadratur formula
=A (1)
ko‘rinishga ega bo’lsin. Bu yerda vazn funksiya. (1) formulaning noma’lum parametrlari A va ,(k. = 1,2,...,n) lar bo’lib , ulami shunday topaylikki, (1) ning algebraik aniqlik darajasi n ga teng bo‘lsin. Quyidagicha belgilash kiritamiz:
, m=0,1,2,… (2)
Agar f ( x ) = 1 desak, (1) dan (2) ga asosan

bo‘ladi. Endi f(x)= , m= 1,2,...,n deb, quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
, m= 1,2,...,n (3)
(1) kvadratur formulaning tugunlari (3) tenglamalar sistemasining yechimlari bo‘lar ekan. (3) tenglamalar sistemasini yechish o‘rniga quyidagicha ish tutamiz.
Faraz qilaylik, (1) ning tugun nuqtalari n tartibli
(4)
ko'phadning nollari bo‘lsin. (4) dan hosila olamiz:
(5)
(6)
(5) va (6) ning chap tomonlari bir xil, demak o‘ng tomonlari ham teng, ya’ni x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlar o‘zaro teng bo‘lishi kerak. Buning uchun (5) ning o‘ng tomonidagi bo‘lish va n yig‘ish amalini bajaramiz va , m=1,2,...,n belgilashni k=1 kiritib,



… … … …

Nyuton munosabatlari deb nomlanadigan formulalami hosil qilamiz. Bulardan ketma-ket , ,..., lamianiqlaymiz, so‘ng

tenglamani yechib, lami topamiz. Agar ,(k=1,2,...,n) lar haqiqiy va turli bo‘lsa,
(7)
ko‘rinishga ega kvadratur formula berilgan n uchun qurilgan bo‘ladi va uni Chebishev tipidagi kvadratur formula deyiladi. (7) kvadratur formula vazn funksiya , oraliq [-1,1] bo‘lganda n = 1,2,...,7 uchun Chebishev parametrlari qiymatini ko‘rsatgan.
Eslatib o‘tamiz, keyinchalik n = 8 va b o ‘lganda =0 tenglama ildizlarining orasida haqiqiy bo‘lmaganlarining ham mavjudligi isbotlandi [11].
Bobga tegishli tayanch so‘zlar: kvadratur formula, tugun nuqtalar, koeffitsiyentlar, qoldiq had, algebrailk aniqlik darajasi, interpolyatsion kvadratur formula, umumlashgan kvadratur formula, Gauss tipidagi kvadratur formula, Chebishev tipidagi kvadratur formula.

2.4. Eng sodda kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapesiya va Simpson formulalari

Eng sodda kvadratur formulalarni oddiy mulohazalar asosida qurish mumkin. Aytaylik,

integralni hisoblash talab qilinsin. Agar qaralayotgan oraliqda bo’lsa, u vaqtda

1-chizma
(1.1)
deb olishimiz mumkin(1-chizma). Bu formula to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi.

2-chizma
Faraz qilaylik, funksiya chiziqli funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda tabiiy ravishda integralni balandligi ga va asoslari va ga teng bo’lgan trapesiya yuzi bilan almashtirish mumkin(2-chizma), u holda
(1.2)
deb olish mumkin. Bu formula trapesiya formulasi deyiladi. Nihoyat, funksiya oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo’lsin, u holda ni taqribiy ravishda o’qi va , to’g’ri chiziqlar hamda funksiya grafigining abssissalari , va bo’lgan nuqtalaridan o’tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuza bilan almashtirish mumkin (3-chizma), u holda quyidagiga ega bo’lamiz:
(1.3)
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743-yilda taklif etgan edi.

3-chizma
Bu formulaning hosil qilinish usulidan ko’rinib turibdiki, u barcha ikkinchi
darajali

ko’phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur
formulalarga ega bo’ldik. (1.5) formulani tuzishda u o’zgarmas son ni aniq integrallashini talab qilgan edik. Lekin u chiziqli funksiyani ham aniq integrallaydi, chunki balandligi va o’rta chizig’i bo’lgan ixtiyoriy trapesiyaning yuziga teng (4-chizma).

4-chizma
Shunga o’xshash Simpson formulasi ham biz kutgandan ko’ra ham yaxshiroq formuladir. U uchinchi darajali

ko’phadlarni ham aniq integrallaydi.
Haqiqatan ham, uchinchi darajali ko’phadni quyidagicha yozamiz:
,
u vaqtda
(1.4)
Lekin bizga ma’lumki,
(1.5)
Ikkinchi tomondan,
(1.6)
ayniyat o’rinlidir. Endi (1.9) — (1.10) ni (1.8) ga qo’yib,

ni hosil qilamiz.
Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani ko’rdik. Ulardan ikkitasi to’g’ri to’rtburchak va trapesiya formulalari — birinchi darajali ko’phad uchun aniq formula bo’lib, Simpson formulasi uchinchi darajali ko’phad uchun aniq formuladir.