Aniq integrallarni taqribiy hisoblashda interpolyatsion kvadratur formulalar” mavzusida tayyorlagan kurs ishi

Teorema. (1) kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi 2n-1 ga teng boiishligi uchun uning tugun nuqtalari [a,b] da vazn funksiya bilan n-darajali ortogonal ko‘phadning ildizlari bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik, (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-l bo’lsin. Tugun nuqtalarni turli deb hisoblasak, (1) ning interpolyatsiyaligi ta’minlanadi. Teoremadagi ortogonal ko‘phadni deb belgilaylik. Darajasi n dan kichik bo’lgan ixtiyoriy ko‘phad Q(x) ni olib, f(x)= Q(x) deylik. Bu ko'phadning darajasi 2n-l dan ortmaydi. Shuning uchun ham uni (1) formula aniq integrallaydi:

Bu yerda, shartga ko‘ra, integral nolga teng, o‘ng tomon ham nolga teng boiishligi uchun ( )= 0, k = 1,2,...,n shartlar bajarilishi kerak. Q( ) k ning barcha qiymatlari uchun nolga aylanmaydi, chunki u darajasi n dan kichik ixtiyoriy ko‘phad. Demak, ( )= 0, k = 1,2,...,n bo‘lsa, yuqoridagi tenglik bajariladi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, (1) interpolyatsion va vazn bilan ortogonal ko‘phad bo‘lsin.
Endi (1) ning algebraik aniqlik darajasi 2n-l ligini ko‘rsatamiz. Agar f(x) darajasi 2n-1 dan katta bo‘lmagan ko‘phad bo’lsa, uni
f ( x ) = Q(x) + R(x) (2)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda Q(x) va R(x) larning darajasi n dan kichik. Bu tenglikning ikkala tomonini p (x) ga ko‘paytirib, n dan b gacha integrallaymiz:
Shartga ko‘ra, o‘ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi integraldagi R(x) darajasi n dan kichik ko‘phad bo‘lganligi, (l)ning interpolyatsionligi va (2) dan ekanligini e'tiborga olsak,
=
kelib chiqadi. Shu bilan yetarlilik sharti ham isbotlandi.
Endi ortogonal ko‘phadning nollari haqidagi teoremani ko'ramiz.
Teorema. [a,b] oraliqda vazn funksiya bilan ortogonal bo‘lgan ko‘phadning barcha ildizlari haqiqiy, turli va (a,b) intervalga tegishli.
Isboti. ning (a,b) ga tegishli toq karrali ildizlarini deb belgilaylik. Teorema isbotlanishi uchun m=n ckanligini ko‘rsatish kifoyadir, chunki bundan ko‘phadning boshqa ildizlari yo‘qligi va ulaming turliligi kelib chiqadi. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni m < n bo’lsin. Ushbu

ko‘phadni tuzamiz. m < n bo‘lganligi uchun
=0
tenglik o‘rinli bo’lishi kerak, ammo ko‘phad [a,b] da ishora saqlagani va [a,b]da chekli nuqtalarda nolga tengligi sababli yuqoridagi integral noldan farqli. Bu ziddiyat teoremani isbotlaydi.
Shunday qilib, (1) ko‘rinishga ega bo’lgan kvadratur formula mavjudligini ko‘rdik. Ba’zan (1) Gauss tipidagi kvadratur formula deb ham ataladi, chunki Gauss (1) formulani xususiy holda, ya’ni orahq [-1,1] , vazn funksiya p(x)=1 boiganda keltirib chiqargan.
Gauss tipidagi kvadratur formula quyidagi xossalarga ega.