Аниқмас интегралда ўзгарувчини алмаштириш ва бўлаклаб интеграллаш. Режа

Бўлаклаб интеграллаш формуласи кўпроқ:
буларда бирор даражали кўпҳад кўринишдаги интегралларни ҳисоблашда ишлатилади. Бу интегралларни ҳисоблашда 1) гурух интегралларда учун кўп ҳад, қолган қисми учун олиниб, 2) гурух интегралларда учун мос равишда лар, қолган қисми учун олинади.
Бўлаклаб интеграллашга бир неча мисоллар қараймиз.
1-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. Интеграл остидаги ифодани деб
Бўлакласак, бўлиб, (1) формулага асосан,
натижага эга бўламиз.
Бу интегралда (1) формуладан фойдаланиш натижасида иккинчи интеграл ҳосил бўлди, бу жадвал интеграли бўлганлиги учун осонгина топилди.
2-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. Юқорида эслатилганидек кўринишда бўлаклаб олсак,
ҳосил бўлади. (1) формулага асосан
бўлади. Охирги ҳосил бўлган интеграл берилган интегралга нисбатан соддалашди (берилган интегралда 2- даражаси, иккинчисида бунинг даражаси биттага камайди). Кейинги интегралда яна (1) формулани қўлаймиз.
Шундай қилиб, натижада
ҳосил бўлади.
3-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш. Юқорида эслатилганидек эмас, тескарисини яъни бўлаклаб олайлик; бу ҳолда бўлиб (1) формуладан фойдалангандан кейин

ифода ҳосил бўлади. Кейинги интеграл берилган интегралга нисбатан мураккаброқдир( нинг даражаси биттага ортди). Демак, бундай бўлаклаб олиш мақсадга мувофиқ эмас, яъни деб олиш керак эди. (Бу интегрални ҳисоблашни ўқувчига ҳавола қиламиз).
4-мисол. интегрални ҳисобланг.
Ечиш.

Бу интегралда бир марта бўлаклаб интеграллагандан кейинги ҳосил бўлган интегралда ўзгарувчини алмаштириш усулидан фойдаланиб интегралладик. Интеграллаш усулларини қўллашда ўзгарувчини алмаштирганда ёки бўлаклаб интеграллаганда ёзувда тартиб бўлиши учун юқоридаги интегрални ҳисоблангандагидек ёзишга одат қилишни тавсия этилади.