Аниқ интеграл тушунчаси 10. Сегментни бўлаклаш

Аниқ интегралларни ҳисоблаш


1⁰. Аниқ интегралларни таърифга кўра ҳисоблаш. Айтайлик, бўлсин. Унда интеграл таърифига кўра

бўлади.
2⁰. Ньютон-Лейбниц формуласи. Айтайлик, функ-ция сегментда берилган ва шу сегментда узлуксиз бўлсин. У ҳолда бошланғич функция

га эга бўлади.
Равшанки, функция нинг ихтиёрий бошланғич функцияси бўлса, у ҳолда

бўлади.
Бу тенгликда, аввал деб
,
сўнгра деб

бўлишини топамиз. Демак,
(1)
(1) формула Ньютон-Лейбниц формуласи дейилади.
Одатда, айирма каби ёзилади. Демак,
.
Масалан,
.
3⁰. Ўзгарувчиларини алмаштириш формуласи. Фараз қилайлик, бўлсин. Равшанки, бу ҳолда

интеграл мавжуд бўлади.
Айни пайтда, бу функция да бошланғич функцияга эга бўлиб,

бўлади.
Айтайлик, аниқ интегралда ўзгарувчи ушбу

формула билан алмаштирилган бўлиб, бунда функция қуйидаги шартларни бажарсин:
1) бўлиб, функциянинг барча қиймат-лари га тегишли;
2) ;
3) функция да узлуксиз ҳосилага эга бўлсин.
У ҳолда
(2)
бўлади.
◄ Равшанки, мураккаб функция сегментда узлуксиз бўлиб,

бўлади.
Агар эканини эътиборга олсак, унда

бўлишини топамиз. Бу эса функция да функциянинг бошланғич функцияси эканини билдиради. Ньютон-Лейбниц формуласига кўра
(3 )
бўлади.
(2) ва (3) муносабатлардан
(4)
бўлиши келиб чиқади. ►
(4) формула аниқ интегралда ўзгарувчини алмаштириш формуласи дейилади.
4⁰. Бўлаклаб интеграллаш формуласи. Айтайлик , ва функцияларнинг ҳар бири сегментда узлуксиз ва ҳосилаларга эга булсин. У ҳолда
(5)
бўлади.
◄ Ҳосилани ҳисоблаш қоидасига кўра

бўлади. Демак, функция оралиқда функциянинг бошланғич функцияси бўлади. Ньютон-Лейбниц формуласидан фойдаланиб топамиз:
.
Кейинги тенгликдан

бўлиши келиб чиқади. ►
(5) формула аниқ интегралларда бўлаклаб интеграллаш формуласи дейилади.