Аниқ интеграл 8-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

1. Трапециялар формуласи
Трапециялар формуласи

аниқ интегрални ҳисоблаш талаб этилсин функция кесмада узлуксиз кесмани нуқталар орқали та тенг қисмий кесмаларга ажратамиз. Функциянинг нуқталаридаги қийматларини ҳисоблаймиз қисмий кесмаларнинг узунлиги катталик интеграллаш қадами дейилади. Бўлиниш нуқталаридан ординатларни ўтказамиз. Ординатлар охирларини тўғри чизиқлар билан туташтириб трапециялар ҳосил қиламиз.
Аниқ интегралнинг тақрибий қиймати учун, ҳосил бўлган трапециялар юзларининг йиғиндисини оламиз. Бу ҳолда

Шундай қилиб, натижада

формулани оламиз. (1) формулага трапециялар формуласи деб аталади. Бу формулада эгри чизиқли трапецияларнинг юзларини тўғри чизиқли трапециялар юзлари билан тақрибан алмаштирдик. ўсиб бориши билан тўғри чизиқли трапецияларнинг юзи эгри чизиқли трапециялар юзларига чексиз яқинлашиб боради.
Бу тақрибий ҳисоблашда йўл қўйилган абсолют хато .

ифодадан катта эмаслигини кўрсатиш мумкин, бунда нинг кесмадаги энг катта қиймати.
2. Симпсон формуласи. кесмани та жуфт миқдордаги тенг қисмларга бўламиз. Учта нуқталар олиб улардан парабола ўтказамиз. Бу парабола билан функциянинг кесмадаги графигини алмаштирамиз. Худди шунга ўхшаш функциянинг графигини ва бошқа кесмаларда ҳам алмаштирамиз.
Шундай қилиб, бу усулда берилган эгри чизиқ билан чегараланган трапециянинг юзини кесмаларда параболалар билан чегараланган эгри чизиқли трапециялар юзларининг йиғиндиси билан алмаштирилади. Бундай эгри чизиқли трапеция параболик трапеция дейилади.
Параболик трапециялар юзларини қўшиб,

Бу формула Симпсон (параболалар) формуласи дейилади. Симпсон формуласининг абсолют хатоси дан катта бўлмайди, бунда функциянинг кесмадаги энг катта қиймати. Хатоларни баҳолаш ифодаларидан маълумки катталик катталикка нисбатан тезроқ ўсгани учун Симпсон формуласининг хатолиги трапециялар формуласи хатосига нисбатан анча тез камаяди.
1-мисол. аниқ интеграл трапециялар ва Симпсон
формулаларидан фойдаланиб тақрибий ҳисоблансин.
Ечиш. кесмани нуқталар ёрдамида 5 та тенг бўлакка бўламиз. Кейин функциянинг шу нуқталардаги қийматларини ҳисоблаймиз.

Трапециялар формуласи бўйича

Симпсон формуласи бўйича, ҳисоблаш учун кесмани нуқталар орқали 4 та тенг бўлакларга ажратамиз ва бу нуқталарда функциянинг қийматлари

бўлади.
Симпсон формуласига асосан:

бўлади.