Аналитик геометрия

2. Koordinatlar usuli va sodda masalalar. Ma’lumki, o’zaro perpendikulyar bo’lgan gorizontal va vertikal sonlar o’qi Dekart to’g’ri burchakli koordinatlar sistemasini tashkil qiladi. Bu sistema orqali tekislikdagi nuqta bilan bir juft haqiqiy son o’rtasida bir qiymatli moslik o’rnatiladi. Tekislikda nuqta bilan belgilanadi. sonlarga uning koordinatlari deyiladi. ,,Nuqta berilgan” degan ibora uning koordinatlarining berilganligini, ,,Nuqtani toping” degan ibora esa, shu koordinatlarni topishni tushuniladi. Koordinatlar sistemasi orqali o’rnatilgan bunday moslikka koordinatlar usuli deyiladi.

Bu usulni geometriyaning sodda masalalarini yechishga qo’llaymiz.

1) Tekislikda berilgan va nuqtalar orasidagi masofani topish talab etilsin. Ma’lumki, , . to’g’ri burchakli uchburchakdan, , shunday qilib,

(1)

bo’ladi. (1) formulaga tekislikda berilgan ikkita nuqta orasidagi masofani topish formulasi deyiladi (1-chizma).

y

В

B





C

x

O

O

A₁

B₁

C₁

x

O

x

1-chizma 2-chizma 3-chizma

2) AV kesma berilgan bo’lib, uning uchlari va bo’lsin. kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtani topish masalasi qo’yilgan bo’lsin. O’rta maktab geometriyasidan ma’lumki (2-chizma),

,

yoki

bO’lib,

,

bo’lganligi uchun,

, ; ;

bo’ladi. Xuddi shunday ,

.

­ Demak, nuqtaning koordinatlari uchun

, (2)

formulani hosil qildik. (2) formulaga kesmani nisbatda bo’luvchi nuqtani topish formulasi deyiladi. Xususiy holda nuoqta AV kesmani teng ikkiga bo’lsa, u ќolda

bo’lib, ,

kesmani teng ikkiga bo’lish formulasi kelib chiqadi.

3) To’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida uchlari nuoqtalarda bo’lgan uchburchak yuzi oquyidagi formula oroqali topiladi:

(3)
1-misol. va nuoqtalar orasidagi masofani toping.

Yechish. Shartga ko’ra: . Bularni (1) formulaga oqo’ysak:



bO’ladi.
2-misol. Tekislikda , nuoqtalar berilgan. AV kesmani nisbatda bo’luvchi nuoqtaning koordi-natlarini toping.

Yechish. Shartga ko’ra .

(2) formulaga asosan:

;

.

Shunday oqilib, bO’ladi.

3-misol. Uchlari va nuoqtalarda bo’lgan uchburchakning yuzini toping.

Yechish. (3) formulaga ko’ra bO’lganligi uchun,



bO’ladi.

4-misol. va nuqtalar berilgan. kesma nuqtalar orqali 4 ta teng qismlarga ajratilgan. bo’linish nuqtalarini toping (3-chizma).

Yechish: Ma’lumki , , .
nuqtaning koordinatlarini (2) formuladan foydalanib topamiz:

,

Demak, . ( va nuqtalarni topish o’quvchiga havola etiladi).