Аналитик геометрия

2. Dekart koordinatlarini almashtirish. Ko’pgina amaliy va nazariy masalalarni yechishda Dekart koordinatlarining bir sistemasidan boshoqa sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bunday ќolda tabiyki nuoqtaning koordinatlari ќam, chizioqning tenglamasi ќam o’zgaradi. Shunday masala tug’iladi: biror koordinatlar sistemasida nuoqta berilgan bo’lsa, uning koordinatlarini boshoqa sistemada oqanday topish mumkin? Bunday masalalarni koordinatlarni almashtirish formulalari oroqali yechish mumkin. To’g’ri burchakli Dekart koordinatlarni almashtirishning oquyidagi ikkita xilini oqaraymiz.

1). Koordinat o’oqlarini parallel ko’chirish. nuoqta berilgan koordinatlar sistemasida (eski) koordinatlarga ega bo’lsin. Koordinatlar boshini nuoqtaga ko’chiramiz, bunda lar yangi koordinatlar boshining eski koordinatlar sistemasidagi koordinatlari bo’ladi. Yangi koordinat o’oqlarini mos ravishda koordinat o’oqlariga parallel oqilib o’tkazamiz. nuoqtaning yangi koordinatlar sistemasidagi koordinatlari mos ravishda bo’lsin. Eski va yangi koordinatlar orasidagi bog’lanishni tekshiramiz. nuoqtadan o’oqlariga perpendikulyarlar o’tkazamiz(2-chizma). `

Y₁

Y

A

X₁

O₁

O

X

1-chizma 2-chizma

Bu ќolda

yoki (4)
bo’ladi. (4) formulalarga koordinat o’qlarini parallel ko’chirish formulalari deyiladi.

3-misol. Koordinatlar o’oqlarini parallel ko’chirganda, yangi koordinatlar boshi nuoqtada bo’lsa, nuoqtaning yangi koordinatlarini anioqlang.

Yechish. Masala shartiga ko’ra ekanligini ќisobga olib, (4) formulaga asosan bo’ladi. Demak, yangi koordinatlar sistemasida nuoqtaning koordinatlari bo’ladi.

2). Koordinatlar boshini o’zgartirmay koordinat o’oqlarini burchakka burganda koordinatlarni almashtirish. Eski koordinatlar sistemasi- ni koordinatlar boshi nuoqta atrofida burchakka burish bilan ќolatga kelsin(3-chizma). nuoqtaning eski koordinatlari yangi koordinatlari mos ravishda bO’lsin. Ma’lumki, va uchburchaklardan chunki, , . Shunga o’xshash = bO’ladi. , bo’lganligi uchun
(5)

formulani ќosil oqilamiz.(5) formulaga koordinat O’oqlarini burchakka burish bilan almashtirish formulasi deyiladi. (5) formulada birinchi tenglamani ga, ikkinchisini ga ko’paytirib, ќadma-ќad oqo’shsak,

bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash,

tengliklarni ќosil oqilamiz. Shunday oqilib,

(6)

eski koordinatlardan yangi koordinatlarga o’tish formulasi bO’ladi.

4-misol. Koordinat o’oqlari burchakka burilgan. nuoqtaning yangi koordinatlarini toping.

Yechish. (6) formulaga asosan , bo’lganligi uchun

bo’ladi.

Koordinatlarni almashtirishning moќiyati, chizioqlarni yoki ularning tenglamalarini tekshirishda ularni soddalashtirishdan iborat deyish mumkin. Masalan, tenglama koordinat O’oqlarini burchakka burish bilan (5) almashtirish oroqali teng tomonli giperbolaga O’tadi. Xaoqioqatan ќam,

,

bo’lib, yoki bO’ladi.

Mustaoqil bajarish uchun topshirioqlar

1. oqutb koordinatlar sistemasida

, nuoqtalar yasalsin.

2. Qutb koordinatlar sistemasida berilgan va nuoqtalarning Dekart koordinatlar sistemasidagi koordinatlarini toping.

3. Qutb koordinatlar sistemasida berilgan chizioq tenglamasini Dekart koordinatlar sistemasida ifodalang.

4. Qutb koordinatlar sistemasida berilgan va nuoqtalarning Dekart koordinatlar sistemasidagi koordinatlarini toping.

5. nuoqtalar yasalsin.

6. chizioq yasalsin.

Ko’rsatma. lar uchun oqiymatlarining jadvali tuzilsin.
7. chizioqlar yasalsin.

8. Ushbu

chizioqlarning tenglamalari oqutb koordinatlaridagi tenglamalari bilan almashtirilsin.

Ko’rsatma. larni berilgan tenglamalarga oqo’yib soddalashtirilsin.
Mustaќkamlash uchun savollar

1. Qutb koordinatlar sistemasi oqanday kritiladi?

2. Dekart koordinatlari bilan oqutb koordinatlari orasidagi bog’lanish formulasi nimadan iborat ?

3. Dekart tO’g’ri burchakli koordinatlar sistemasi koordinat O’oqlarini parallel kO’chirish bilan almashtirish formulasi oqanday?

4. Koordinat O’oqlarini biror burchakka burish bilan almashtirish formulasi nimadan iborat?

5. Koordinatlarni almashtirishning moќiyati nimadan iborat?