Analitik geometriya elementlari

ANALITIK GEOMETRIYA ELEMENTLARI


ELLIPS
Ellips shunday nuqtalarning geometrik o’rniki, bu nuqtalarning har- biridan ikkita o’zgarmas nuqtagacha – ellipsning fokuslarigacha bo’lgan masofalarining yig’indisi o’zgarmas miqdor bo’lib, 2а ga tengdir. Fokuslar orasidagi masofa F =2с ( 46 – chizma ).Fokuslar tutashtiruvchi to’g’ri chiziqni abtsissalar o’qi deb va koordinatalar boshini fokuslar oralig’ining o’rtasiga joylashtirib, ellipisning eng sodda tenglamasini hosil qilamiz. Ellipisning tenglamasi

ko’rinishni oladi, bunda
b
Koordinatalar sistemasi bunday tanlab olinganda koordinatda o’qlari ellipisning simmetriya markazi bilan ustma – ust tushadi ).
Ellipisning o’z o’qlari bilan kesishish nuqtalari ( А ва А В ва В ) elipisning uchlari deb ataladi.
Учлар орасига жойлашган кесмалар эллиписнинг o’qлари дейилади: катта (фокал) o’q А А =2а va kichik o’q В В = 2b. SHunday qilib, ellipis tenglamasida ( 7) qatnashuvchi a va bpara metrlar uning yarim o’qlariga teng.
Ellipisning ekstsentrisiteti ( ye ) deb, fokuslari orasidagi ( 2 ) masofaning katta o’qi (2a) ga bo’lgan nisbatiga aytiladi, ya‘ni bundan
е= е 1 ekanligi oydin.
Elipisdagi nuqtadan fokuslargacha bo’lgan masofalar uning fokal radius- vektorlari ( r va r ) deyiladi. Ellipisning ixtiyoriy М ( х у) nuqtasi uchun
r = а -ех, r = а + е х,
va ellipsning ta‘rifiga asosan
r = r =2а,
ya‘ni ellipsning har qanday nuqtasining fokal radius – vektorlarining yig’indisi uning katta o’qiga teng.
Ellipsning kichik o’qiga parallel va undan masofadan o’tgan ikki to’g’ri chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi ( 46 – chizmadagi S D va E O to’g’ri chiziqlar ). Direktrissalar tenglamalari quyidagichadir:
x=
Bundan buyon biz ellipsning o’qlari va markazi deb aytamiz.
SHunday qilib, ellipsniberilgan nuqtadan va berilgan to’g’ri chiziqdan masofalarining nisbati birdan kichik o’zgarmas miqtorga teng bo’lgan nuqtalarning geometrik o’rni deb, ta‘riflash mumkin.
Ellips har qanday to’g’ri chiziq bilan ikkita (haqiqiy, mavhum yoki ustma – ust tushgan) nuqtada kesishadi.
Agar to’g’ri chiziq ellipsga urinma deyiladi.
( 7) ellipsning М (х у ) nuqtasida unga urinma bo’lgan to’g’ri chiziqning tenglamasi + = 1 ko’rinishga ega.
Har bir nuqtadan ellipsga ikkita urinma o’tkazish mumkin. Nuqta ellips tashqarisida yotsa, ikkala urinma haqiqiy bo’ladi; nuqta ellipsda yotsa, urinmalar birlashib ketadi; nuqta ellips ichida yotsa, ikkala urinma mavhum bo’ladi.
Quyidagi ma‘lumotlarga ko’ra ellipsning eng sodda tenglamasi tuzilsin:
a) uning yarim o’qlari 4 va 2 ga teng;
b) fokuslari orasidagi masofa 6 ga va katta yarim o’qi 5 ga teng:
s) katta yarim o’qi 10 ga teng va ekstsenttrisiteti е = 0,8 ga teng;
d) kichik yarim o’qi 3 ga teng va ekstsentrisiteti е = ;
е) yarim o’qlarining yig’indisi 8 ga va fokuslari orasidagi masofa ham 8 ga teng.
376. Ellips tenglamasi berilgan: 25х O’qlarining uzunliklari, fokuslarining uzunliklari, fokuslarining koordinatalari va ekstsentrisiteti hisoblansin.
378. Ellips tenglama bilan berilgan. Uning fokuslari, koordinatalarini hisoblamasdan, yasalsin.
380. Qo’zg’almas asosga ega bo’lgan uchburchakning qanday siljitiladiki, uning perimetri o’zgarmas asosi 24 sm va perimetri 50 sm bo’lish shartida uchburchak uchining traektoriyasi topilsin.
383. Ushbu ellips direktrisalarining tenglamasi yozilsin.
384. х= + 8 to’g’ri chiziqlar kichik o’qi 8 ga teng bo’lgan ellipsning direktrisalaridir.Shu ellipsning tenglamasi topilsin.
386. Yer sharining meridiani ellips shaklida bo’lib, o’qlarining nisbati ga teng. Yer meridianining ekstsentrisiteti aniqlansin.
387. ellipsda uning kichik o’qidan 5 birlik masofadagi nuqta topilsin.
388. Ellips М (+ va N ( - 2 nuqtalardan o’tadi. Uning o’qlarini koordinata o’qlari qilib, ellipsning tenglamasi tuzilsin.
390. А( +6; - 3 ), В( - 2; + 5 ), С( +3; -6), D( + , Е( - 4; +2 ) ва C( +1; + ) nuqtalarning vaziyati ellipsga nisbatan aniqlansin.
391. ellipsga ichki muntazam uchburchak chizilgan; uning uchlaridan biri ellips katta o’qining o’ng uchiga tushadi. Bu uchburchakning qolgan ikkita uchining koordinatalari topilsin.
392. ellipsda shunday nuqta topilsinki, uning o’ng fokusidan masofasi chap fokusidan bo’lgan masofasiga nisbatan to’rt marta katta bo’lsin.
394. Fokuslaridan birining koordinatalari (+ 3; 0) bo’lgan ellipsda M( + 4; + 2,4) nuqta olingan. Ellipsning markazini koordinatalar boshi deb qabul qilib, M nuqtadan mos direktrisagacha bo’lgan masofa topilsin.
395. 1 ellipsning 2х – у- 9 = 0 to’g’ri chiziq bilan kesishish nuqtalari topilsin.
398. ellipsga ichki to’g’ri to’rtburchak chizilgan, uning ikkita qarama –qarshi tomoni fokuslardan o’tadi. Shu to’g’ri to’rt burchakning yuzi hisoblansin.
400. ellips berilgan. Uning ( + 1; +1 ) nuqtasidan o’tuvchi va shu, nuqtada teng ikkiga bo’linuvchi vatar o’tkazilsin.
402. А (- 6; + 3) nuqtadan ellipsga o’tkazilgan urinmalarning tenglamalari tuzilsin.
404. ellipsga shunday urinmalar o’tkazilsinki, ular 13х +12у – 115 =0 to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lsin.
405. 4х – 5у – 40 = 0 to’g’ri chiziqning ellipsga urinishi ma‘lum. Ularning urinish nuqtasi topilsin.
406. ellipsning shunday o’rinmalarining tenglamasi topilsinki, bu urinmalarning ellips markazidan bo’lgan masofalari 3 ga teng bo’lsin.
411. Ах + Ву + С = 0 to’g’ri chiziqning ellipsga urinish sharti topilsin.
412. Ellips Р ( + 3; + ) nuqtadan o’tadi va 4х + 5у = 25 to’g’ri chiziqqa urinadi. Bu ellipsning tenglamasi yozilsin va uning shu to’g’ri chiziqqa urinadigan nuqtasi topilsin. Koordinata o’qlari ellipsning o’qlari o’qlari bilan ustma-ust tushadi.
413. Ellips ikkita х + у = 5 va х + 4у = 10 to’g’ri chiziqqa urinadi. Ellipsning o’qlari koordinata o’qlari bilan ustma-ust tushish shartida, uning tenglamasi topilsin.
GIPERBOLA
Giperbola shunday nuqtalarning geometrik o’rniki, bu nuqtalarning har biridan ikkita o’zgarmas nuqtagacha – geperbolaning fokuslarigacha - bo’lgan masofalar ayirmasi o’zgarmas miqdor bo’lib, 2a ga tengdir.
Fokuslar orasidagi masofa F F = 2с
Giperbolaning eng sodda tenglamasi

ko’rinishiga ega, bunda
b
Giperbolaning fokuslarini tutashtiruvchi to’g’ri chiziq abstsissalar o’qi xizmatini qiladi va koordinatalar boshi fokuslar oralig’ini o’rtasida olingan. Bu holda koordinata o’qlari geperbolaning simmetriya o’qlari bilan va koordinatalar boshi simmetriya markazi bilan ustma-ust tushadi (geperbolaning o’qlari va markazi).
Fokal o’qda geperbola ikki haqiqiy А va А uchga ega, ular orasidagi kesma А А = 2а giperbolaning haqiqiy o’qi deyiladi. Ikkinchi o’q bilan giperbola ikkita mavhum (0; ib ) nuqtada kesishadi, lekin haqiqiy kesma 2b, shartli ravishda, giperbolaning mavhum o’qi deyiladi. Shunday qilib, ( 16) giperbola tenglamasiga kirgan а va b parametrlar giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o’qlari uzunliklariga teng. Giperbola uchun quyidagi uch holning hammasi bo’lishi mumkin: а b, а = b va а b. Агар а= b. bo’lsa, giperbola teng tomonli deyiladi.
Agar giperbolaning mavhum o’qi 2a uzunlikka ega bo’lib, x o’qi bo’ylab yunalgan, haqiqiy o’qi esa 2b uzunlikda bo’lib,u o’qi bilan ustma – ust tushsa, bunday giperbolaning tenglamasi
-
bo’ladi.
( 16) va (18) tenglamalar bilan berilgan giperbolalar qo’shma giperbolalar deyiladi.
Fokuslar orasidagi masofaning haqiqiy o’qqa nisbati giperbolaning ekstsentrsiteti deyiladi:
е =
va bunda е 1.
(16 ) giperbola cheksizlikka cho’zilgan ikkita haqiqiy / o’ng va chap / tarmoqdan iborat.
433. O’qlari koordinata o’qlari bilan ustma – ust tushgan va a) uchlari orasidagi masofa 8 ga, fokuslari orasidagi masofa 10 ga teng bo’lgan:
b) haqiqiy yarim o’qi 5 ga teng va uchlari markaz bilan fokuslar orasidagi masofalarni teng ikkiga bo’lgan;
s) haqiqiy o’qi 6 ga teng va ( +; - 4 ) nuqtadan o’tgan;
d) P ( - 5; + 2 ) va Q ( + 2 nuqtalardan o’tgan giperbolaning tenglamasi tuzilsin.
434. Giperbolaning F (+ 10; 0), F ( -10; 0) fokuslarini va nuqtalaridan biri М ( + 12; +3 ni bilgan holda, uning tenglamasini tuzing.
436. ellips bilan umumiy fokuslarga ega va ekstsentrisiteti e = 1, 25 bo’lgan giperbolaning tenglamasi tuzilsin.
439. giperbola berilgan:
a) fokuslarning koordinatalari hisoblansin;
в) ekstsentrisiteti hisoblansin;
с) asimptotalarining va direktrisalarining tenglamalari yozilsin;
d) qo’shma giperbolaning tenglamasi yozilsin va uning ekstsentisiteti hisoblansin.
440. Giperbola asimptotlarining у = tenglamalarini va М ( + 12; +3 nuqtasini bilgan holda, uning tenglamasi tuzilsin.
441. Giperbola haqida quyidagilar ma‘lum bo’lsa, uning yarim o’qlari hisoblansin:
a) Fokuslari orasidagi masofa 8 ga direktrisalari orasidagi masofa 6 ga teng;
b) direktrisalari tenglamalar bilan berilgan va asimtotalari orasidagi burchak – to’g’ri burchak;
с) asipmtotalari tenglamalar bilan berilgan va fokuslari markazlardan 5 birlik masofada;
asimptotalari tenglamalar bilan berilgan va giperbola nuqtadan o’tadi.
442. Ikkita qo’shma giperboladan birining direktrisalari orasidagi masofa 7,2 ga, ikkinchisining direktrisalari orasidagi masofa 12, 8 ga tengligini bilgan holda, ularning tenglamalari yozilsin.
443. Giperbolaning asimptotalari orasidagi burchak topilsin, uning:
a)etsentrisiteti е=2; b) fokuslari orasidagi masofa direktrisalari orasidagi masofadan ikki marta katta.
444. Quyidagi shartda giperbolaningekstsentrisiteti hisoblansin:
a) asimptotlar orasidagi burchak 60 ga teng;
b) asimptotalar orasidagi burchak 90⁰ ga teng; с) giperbolaning haqiqiy o’qi qo’shma giperbolaning fokusidan 60⁰li burchak ostida ko’rindi.
445. Teng tomonli giperbola х² - у² = 8 berilgan М ( -5; + 3) nuqtadan o’tuvchi fokusdosh giperbolaning tenglamasi topilsin.
446. giperbolada abtsissasi 10 ga teng va ordinatasi musbat bo’lgan nuqta olingan. Shu nuqtaning fokal radius – vektorlari va ular orasidagi burchak hisoblansin.
450. giperbolada shunday nuqta topilsinki, u bir asimtotadan ikkinchi asimtotaga nisbatan uch marta yaqin bo’lsin.
451. giperbolaning quyidagi to’g’ri chiziqlar bilan kesishish nuqtalari topilsin:
452. nuqtadan х² - 4у² =4 giperbolaning asimptotalarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazilsin.
456. giperbolaga nuqtada urinuvchi to’g’ri chiziqning tenglamasi yozilsin.
457. giperbolaga ) nuqtalarning har biridan urinmalar o’tkazilsin.
458. Berilgan giperbolaga:
а) х + у – 7 = 0 to’g’ri chiziqqa paralel;
b) х – 2у = 0 тo’g’ри чизиqqа паралел;
с) х - 2 =0 to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lgan urinmalar o’tkazilsin.
460. giperbolada shunday nuqtalar topish kerakki,ulardan o’tgan urinmalar abtsissalar o’qiga burchak ostida og’ishgan bo’lsin.
462. Giperbola х – у – 2 = 0 to’g’ri chiziqqa М ( + 4; + 2 ) nuqtada urinadi. Shu giperbolaning tenglamasi tuzilsin.
472. Quyidagi giperbolalarning tenglamalari eng sodda shaklga keltirilsin:
а) 9х -25 у
b) 5х
с) х
Ular markazlarining o’rinlari va o’qlarining miqdorlari topilsin.